formule de Fubini

Imaginez un rectangle dont chaque point porte une valeur. Pour additionner continûment toutes ces valeurs, on peut d'abord parcourir chaque colonne, puis réunir les résultats obtenus. On peut aussi commencer par les lignes.

La formule de Fubini précise les conditions sous lesquelles ces deux parcours calculent la même intégrale double. Elle transforme ainsi un calcul à deux variables en deux calculs ordinaires successifs, dans l'ordre le plus commode.

La formule de Fubini est le résultat qui relie l'intégrale d'une fonction de deux variables sur un rectangle aux deux intégrales simples successives obtenues en fixant tour à tour une variable. La fonction, notée $ff$, est définie sur le rectangle formé par les intervalles $[a,b][a,b]$ et $[c,d][c,d]$.

La version élémentaire retenue ici s'applique sous les hypothèses d'intégrabilité détaillées dans la rubrique consacrée aux conditions. Elles forment un cadre suffisant pour effectuer les deux calculs successifs.

Sous ces hypothèses, les deux ordres donnent la même valeur que l'intégrale double. Le résultat, dû à Guido Fubini, s'étend à des domaines plus généraux que les rectangles et aux dimensions supérieures.

Soit une fonction $ff$ définie sur le rectangle $[a,b]\times [c,d][a,b]\backslash times[c,d]$. Si elle satisfait les conditions d'intégrabilité précisées pour le rectangle, ses sections et les deux fonctions obtenues après une première intégration, alors :

Autrement dit, l'intégrale double se calcule par intégrations successives, et leur ordre est indifférent.

Le cadre de référence est un rectangle $[a,b]\times [c,d][a,b]\backslash times[c,d]$. Dans la version élémentaire retenue ici, on suppose que la fonction est intégrable sur tout le rectangle, que chaque section obtenue en fixant une variable est intégrable sur l'intervalle restant et que chacune des deux fonctions produites par la première intégration est encore intégrable. Ces conditions forment un cadre suffisant, plus fort que le théorème général de Lebesgue, où l'intégrabilité des sections est garantie presque partout.

Si l'un de ces contrôles échoue, l'égalité annoncée par cette version du théorème n'est pas acquise. Par exemple, si une intégrale intérieure n'existe pas pour une valeur fixée, le calcul successif correspondant est bloqué ; il faut alors établir d'autres hypothèses avant de permuter l'ordre.

On intègre la fonction $f(x,y)=x+2yf(x,y)=x+2y$ sur le rectangle où la première variable $xx$ va de 0 à 1 et la seconde, $yy$, de 0 à 2. Les données sont donc la fonction et les deux intervalles [0, 1] et [0, 2].

1. On intègre d'abord par rapport à $yy$ : ${\int }_0^2(x+2y)dy=2x+4\backslash int\_0^2(x+2y)\backslash ,dy=2x+4$.
2. On intègre le résultat par rapport à $xx$ : ${\int }_0^1(2x+4)dx=5\backslash int\_0^1(2x+4)\backslash ,dx=5$.

3. Pour contrôler, on inverse l'ordre : ${\int }_0^1(x+2y)dx=\frac{1}{2}+2y\backslash int\_0^1(x+2y)\backslash ,dx=\backslash frac12+2y$.
4. La seconde intégration donne ${\int }_0^2(\frac{1}{2}+2y)dy=5\backslash int\_0^2(\backslash frac12+2y)\backslash ,dy=5$. Les deux parcours du même rectangle aboutissent exactement à 5. La figure rend visible cette double lecture.

Pour calculer une intégrale double sur un rectangle, on examine les deux ordres possibles. On commence par la variable qui rend l'intégrale intérieure la plus directe, puisque Fubini garantit le même résultat lorsque ses hypothèses sont remplies.

Le second ordre fournit aussi un contrôle du calcul. Dans l'exemple, intégrer d'abord selon $yy$ ou selon $xx$ conduit exactement à 5 ; un écart révélerait une erreur de primitive ou de borne.

Pour un domaine non rectangulaire ou un calcul en dimension supérieure, on conserve le principe des intégrations successives, mais on adapte le domaine et les bornes au cadre considéré.

Intégrations successives et inversion de l'ordre. Les intégrations successives décrivent le procédé de calcul ; l'inversion de l'ordre affirme que les deux procédés donnent la même valeur sous les hypothèses de Fubini. Effectuer un seul ordre ne vérifie donc pas, à lui seul, que l'autre est permis.

Une section non intégrable. Si, pour une valeur fixée, l'intégrale intérieure n'existe pas, le calcul successif correspondant est bloqué. Il faut vérifier un cadre d'intégrabilité adapté avant de poursuivre.

Une intégrale intermédiaire non intégrable. L'existence de chaque première intégrale ne suffit pas dans l'énoncé donné : la fonction obtenue doit encore être intégrable sur l'autre intervalle. Sans cela, la seconde étape n'est pas justifiée.

Un domaine non rectangulaire. La formule présentée avec quatre bornes constantes concerne un rectangle. Le théorème s'étend à des domaines plus généraux, mais leurs bornes et leur description ne doivent pas être remplacées mécaniquement par celles d'un rectangle.

Le même principe dépasse le rectangle : on peut étudier des domaines plus généraux, puis répéter les intégrations successives en dimension supérieure. Le point essentiel reste inchangé : chaque nouvelle écriture exige des conditions d'intégrabilité adaptées au domaine et aux fonctions intermédiaires.