Intégrande

Imaginez la courbe qui associe à chaque nombre x son carré x², entre 0 et 2. Pour additionner les fines bandes situées entre cette courbe et l’axe horizontal, on écrit une intégrale. La fonction x ↦ x², dont les valeurs donnent la hauteur des bandes, est l’intégrande.

L’intégrande est donc ce que l’on intègre, et non le résultat obtenu. Sa régularité indique aussi quel cadre d’intégration convient.

Dans une intégrale définie entre deux bornes, la lettre x désigne la variable d’intégration, les nombres a et b désignent les bornes, et la fonction f est l’intégrande : ${\int }_a^{b}f(x)dx\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx$. L’écriture dx précise la variable selon laquelle l’intégration est effectuée. L’intégrande est donc la fonction f, ou l’expression f(x) qui donne ses valeurs, et non le symbole intégral ni la valeur finale.

Les conditions imposées à l’intégrande dépendent du type d’intégrale retenu. Sa continuité, sa bornitude ou sa mesurabilité peuvent déterminer si l’intégrale est définie et quelles propriétés elle possède. Une même expression peut ainsi demander un cadre différent lorsque sa régularité change.

En calcul stochastique, l’intégrande d’une intégrale d’Itô dépend du hasard. Il doit être prévisible ou, selon le cadre, progressivement mesurable relativement à la filtration, et satisfaire séparément les conditions d’intégrabilité requises. Le seul fait d’être adapté, c’est-à-dire de ne pas utiliser une information future, ne suffit pas.

On cherche l’intégrale de la fonction carré entre 0 et 2. Les données sont les suivantes :
• l’intégrande est la fonction f définie par f(x) = x² ;
• la variable d’intégration est x ;
• la borne inférieure vaut 0 et la borne supérieure vaut 2.

1. On identifie d’abord l’expression placée sous le signe intégral : x². C’est l’intégrande.

2. Une primitive de la fonction carré est la fonction qui associe à x le nombre x³/3.

3. On évalue cette primitive aux deux bornes, puis on soustrait la valeur obtenue en 0 à celle obtenue en 2 : ${\int }_0^2{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=\frac{8}{3}\backslash int\_0^2\; x^2\backslash ,dx=\backslash left[\backslash frac\{x^3\}\{3\}\backslash right]\_0^2=\backslash frac\{8\}\{3\}$.

Le résultat exact est 8/3, soit environ 2,67. Un contrôle simple consiste à dériver x³/3 : on retrouve bien l’intégrande x². La représentation de la courbe y = x² rend visible la région dont l’aire signée vaut 8/3.

Dans un calcul d’intégrale, le premier geste consiste à isoler l’expression située sous le signe ∫. Pour ${\int }_0^2{x}^{2}dx\backslash int\_0^2\; x^2\backslash ,dx$, l’intégrande est x², tandis que 0 et 2 sont les bornes.

Avant de calculer, on repère le cadre annoncé dans l’énoncé : une intégrale usuelle et une intégrale stochastique n’appellent ni les mêmes vérifications ni les mêmes outils.

Dans une intégrale d’Itô, on vérifie que l’intégrande est prévisible ou, selon le cadre, progressivement mesurable relativement à la filtration, puis qu’il satisfait les conditions d’intégrabilité requises. L’adaptation interdit de mobiliser une information future, mais elle ne suffit pas à elle seule.

L’intégrande et l’intégrale. L’intégrande est la fonction placée sous le signe ∫ ; l’intégrale est l’opération entière ou son résultat. Dans ${\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{8}{3}\backslash int\_0^2\; x^2\backslash ,dx=\backslash frac\{8\}\{3\}$, x² est l’intégrande et 8/3 est la valeur de l’intégrale.

L’intégrande et une primitive. Une primitive est une fonction dont la dérivée redonne l’intégrande. Ici, x² est l’intégrande, tandis que x³/3 est une primitive. Les deux fonctions ne jouent donc pas le même rôle dans le calcul.

Une expression sous ∫ n’est pas automatiquement intégrable dans le cadre choisi. Une rupture de continuité, l’absence de bornitude ou un défaut de mesurabilité peut empêcher d’appliquer les propriétés attendues. Il faut préciser le type d’intégrale et vérifier ses hypothèses.

Le nom de la variable ne change pas l’intégrande comme fonction. Dans une intégrale définie, la variable est muette : remplacer x par t partout ne change pas la valeur. En revanche, un remplacement incomplet rend l’écriture incohérente.

Adapté ne signifie pas automatiquement intégrable au sens d’Itô. L’adaptation interdit l’usage d’informations futures, mais elle ne remplace pas les conditions d’intégrabilité exigées. Il faut contrôler séparément ces deux aspects.

Une intégrande négative ne représente pas une aire géométrique positive. L’intégrale donne une aire signée : les contributions sous l’axe horizontal sont négatives. Pour obtenir une aire totale, il faut intégrer la valeur absolue ou découper aux changements de signe.

La fiche fonction primitive prolonge le calcul : elle explique la fonction dont la dérivée redonne l’intégrande et son rôle dans l’évaluation d’une intégrale.