AnalyseFormule · Glossaire
formule de Newton-Leibniz
La formule de Newton-Leibniz, aussi appelée théorème fondamental du calcul intégral, établit le lien fondamental entre les deux opérations de dérivation et d'intégration. Elle affirme que si f est une fonction continue sur un intervalle [a, b] admettant une primitive F, c'est-à-dire une fonction vérifiant F' = f sur [a, b], alors : . Ce résultat justifie le procédé de calcul d'intégrales définie par primitivation, qui consiste à trouver une primitive F de f, puis à évaluer la différence de ses valeurs aux bornes. La formule porte les noms d'Isaac Newton et de Gottfried Wilhelm Leibniz, qui l'ont tous deux découverte indépendamment au XVIIe siècle, contribuant ainsi à l'émergence du calcul infinitésimal. Notons que la désignation formule de Newton-Leibniz est surtout en usage dans la littérature mathématique de tradition anglo-saxonne et slave ; la même formule est fréquemment désignée par théorème fondamental du calcul dans d'autres traditions.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l’intégrale définie à la différence des valeurs d’une primitive.
- Vérifier les hypothèses de continuité et de primitivation.
- Calculer pas à pas l’intégrale de x² entre 0 et 2.
- Reconnaître les cas où l’énoncé ne s’applique pas directement.
En clair
Imaginez que l’on veuille mesurer l’accumulation représentée par une courbe entre deux repères. On pourrait additionner une multitude de bandes très fines. La formule de Newton-Leibniz offre un autre chemin : trouver une fonction dont la dérivée redonne la courbe, puis comparer ses valeurs aux deux extrémités.
La dérivation décrit ainsi une variation locale, tandis que l’intégration mesure une accumulation. La formule montre que ces deux opérations se répondent.
Définition
La formule de Newton-Leibniz est le résultat qui relie le calcul d’une intégrale définie à la recherche d’une primitive. On considère une fonction f continue sur l’intervalle fermé allant du nombre a au nombre b. Une fonction F est une primitive de f sur cet intervalle lorsque sa dérivée F′ est égale à f en chaque point.
Sous ces conditions, l’intégrale de f entre a et b est la différence entre la valeur de F à l’arrivée et sa valeur au départ :
Cette identité justifie le calcul par primitivation. Si une autre primitive est choisie, elle diffère de F par une constante ; cette constante disparaît dans la soustraction. Le nom « formule de Newton-Leibniz » rappelle les découvertes indépendantes d’Isaac Newton et de Gottfried Wilhelm Leibniz au XVIIe siècle. Selon les traditions mathématiques, le même résultat est souvent nommé théorème fondamental du calcul ou théorème fondamental du calcul intégral.
Le principe
Soient a et b les bornes d’un intervalle, f une fonction continue sur cet intervalle et F une primitive de f, donc F′ = f. Alors :
Le membre de gauche est l’intégrale définie de f. Les deux écritures de droite demandent d’évaluer une primitive à la borne supérieure b, puis de retrancher sa valeur à la borne inférieure a.
Quand l'utiliser
La formule s’applique sur un intervalle [a, b] lorsque f y est continue. Il faut aussi disposer d’une primitive F sur tout cet intervalle et vérifier que F′ = f. Les deux bornes a et b doivent être connues : leur rôle est de limiter l’intégrale et de fixer les deux valeurs de F à comparer.
Par exemple, la fonction définie par f(x) = 1/x n’est pas continue sur [−1, 1], car elle n’est pas définie en 0. On ne peut donc pas appliquer directement l’énoncé sur tout cet intervalle. Il faut séparer les intervalles où la fonction est définie et, si une borne problématique est approchée, étudier une intégrale impropre.
Un exemple, pas à pas
On veut calculer l’intégrale de la fonction f définie par f(x) = x2 entre 0 et 2. Les données sont la fonction f, la borne inférieure 0 et la borne supérieure 2.
1. Une primitive de f est la fonction F définie par F(x) = x3/3, car sa dérivée vaut x2.
2. La formule demande la différence F(2) − F(0).
3. On obtient F(2) = 23/3 = 8/3 et F(0) = 0.
4. La valeur de l’intégrale est donc 8/3.
2. La formule demande la différence F(2) − F(0).
3. On obtient F(2) = 23/3 = 8/3 et F(0) = 0.
4. La valeur de l’intégrale est donc 8/3.
Le calcul complet s’écrit : .
Le résultat est une accumulation de 8/3 unités d’aire. Le contrôle consiste à dériver x3/3 : on retrouve bien x2.
Une représentation de la courbe entre 0 et 2 rend visible la région dont l’intégrale mesure l’aire algébrique.
En pratique
Pour calculer exactement une intégrale définie, on cherche d’abord une primitive reconnaissable. Si elle existe sous une forme exploitable, la différence de ses valeurs aux bornes remplace une longue addition d’aires élémentaires.
Pour contrôler un calcul, on dérive la primitive proposée. Si la dérivée ne redonne pas l’intégrande, il faut corriger la primitive avant d’évaluer les bornes.
Lorsqu’aucune primitive usuelle n’est disponible, une méthode numérique peut approcher l’intégrale. Le choix change alors dès que l’on accepte une valeur approchée plutôt qu’une expression exacte.
À ne pas confondre
Primitive et intégrale définie. Une primitive F est une fonction dont la dérivée vaut f ; l’intégrale entre a et b est un nombre. Ainsi, x3/3 est une primitive de x2, tandis que son intégrale entre 0 et 2 vaut 8/3.
Intégrale et aire géométrique. Une intégrale représente une aire algébrique : les portions situées sous l’axe horizontal comptent négativement. Une aire géométrique, elle, reste positive et peut imposer de découper l’intervalle aux changements de signe.
Formule de Newton-Leibniz et méthode numérique. La première évalue exactement une intégrale à partir d’une primitive. Une méthode numérique fournit une approximation ; la présence d’un résultat décimal assorti d’une erreur distingue ce second cas.
Limites et pièges
Discontinuité dans l’intervalle. Si f n’est pas définie ou devient infinie en un point entre a et b, l’hypothèse de continuité échoue. Il faut découper le domaine et déterminer si des intégrales impropres ont un sens.
Bornes inversées ou confondues. Échanger a et b change le signe de l’intégrale ; prendre a = b donne 0. Il faut donc conserver l’ordre des bornes lors de la soustraction F(b) − F(a).
Constante oubliée. Les primitives de f diffèrent par une constante, mais celle-ci s’annule entre les deux bornes. Ajouter une constante n’est pas une erreur ; la conserver dans le résultat final en est une.
Variation de vocabulaire. « Formule de Newton-Leibniz » est surtout employé dans les traditions anglo-saxonne et slave. Ailleurs, « théorème fondamental du calcul » désigne fréquemment le même lien entre dérivation et intégration ; le contenu de l’énoncé tranche, pas son seul nom.
Pour aller plus loin
Fonction primitive — Pour approfondir la fonction dont la dérivée redonne l’intégrande et apprendre à vérifier ce lien avant d’évaluer les bornes.
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