AnalyseThéorème · Glossaire
théorème de Fubini
Sur deux espaces mesurés σ-finis, le théorème de Tonelli affirme que, pour toute fonction mesurable positive sur l’espace produit, l’intégrale double est égale aux deux intégrales itérées, éventuellement infinies. Le théorème de Fubini donne la même égalité pour une fonction mesurable intégrable, donc absolument intégrable, avec des intégrales finies : on peut ainsi choisir l’ordre d’intégration le plus commode.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses qui autorisent l’échange de l’ordre d’intégration.
- Distinguer la forme intégrable de Fubini du cas positif de Tonelli.
- Vérifier sur un exemple que les deux intégrales itérées valent 3.
- Repérer les pièges liés à la convergence non absolue et aux sections exceptionnelles.
En clair
Imaginez un rectangle dont chaque point porte une hauteur. Pour additionner tout le volume situé sous cette surface, on peut avancer bande après bande. On additionne d’abord les hauteurs le long de chaque bande, puis on additionne les résultats obtenus.
Le théorème de Fubini précise quand on peut choisir des bandes verticales ou horizontales sans changer le total. Autrement dit, une intégrale double devient deux intégrales ordinaires successives, dans l’ordre le plus commode.
Définition
Le théorème de Fubini concerne une fonction mesurable définie sur le produit de deux espaces mesurés. On note X et Y les deux espaces, μ et ν leurs mesures, et μ ⊗ ν la mesure produit sur X × Y. Les mesures sont supposées σ-finies, c’est-à-dire que chaque espace est recouvert par une famille dénombrable d’ensembles de mesure finie.
Dans la forme usuelle de Fubini, la fonction f est intégrable sur l’espace produit : l’intégrale de |f| est finie. Alors, pour presque tout x, la fonction de y obtenue en fixant x est intégrable, et réciproquement. Les deux intégrales itérées existent, sont finies et valent l’intégrale double. « Presque tout » signifie que les exceptions éventuelles forment un ensemble de mesure nulle.
La variante de Tonelli part d’une fonction mesurable à valeurs dans [0, +∞]. Elle autorise une valeur totale égale à +∞ et affirme déjà la mesurabilité des intégrales partielles ainsi que l’égalité des trois intégrales. Si ce total est fini, on retrouve le cadre intégrable de Fubini.
Le principe
Soient deux espaces mesurés σ-finis X et Y, munis des mesures μ et ν. Si la fonction mesurable f sur X × Y est intégrable, alors ses intégrales partielles sont intégrables presque partout et les trois quantités suivantes sont égales :
Pour une fonction mesurable positive, le même énoncé relève de Tonelli et les valeurs peuvent être infinies. Le rectangle de l’exemple illustre les deux parcours possibles d’un même domaine.
Quand l'utiliser
Le domaine doit être un espace produit muni d’une mesure produit, construit ici à partir de deux espaces mesurés σ-finis. La fonction doit être mesurable pour la tribu produit. Pour appliquer Fubini à une fonction qui peut changer de signe, il faut en plus vérifier son intégrabilité absolue :
Si f est positive, Tonelli permet de calculer les intégrales itérées avant de savoir si leur valeur est finie. En revanche, pour une fonction signée dont l’intégrale de |f| diverge, deux ordres d’intégration peuvent conduire à des résultats incompatibles ou ne pas exister. Il faut alors établir une autre convergence justifiant l’échange, ou conserver l’ordre déjà défini.
Un exemple, pas à pas
On considère le rectangle défini par 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 2. À chaque point, la fonction f associe la valeur x + y. Cette fonction est continue et positive sur un rectangle borné ; elle est donc intégrable. Le même domaine peut être parcouru par bandes dans l’un ou l’autre sens.
1. En fixant x, on intègre d’abord selon y : .
2. On intègre ensuite ce résultat selon x : .
3. Pour contrôler dans l’autre ordre, on fixe y : .
4. La dernière intégration donne encore . Les deux calculs donnent exactement 3. Le contrôle consiste à refaire les primitives et à vérifier les bornes 0, 1 et 2.
En pratique
Pour une intégrale double sur un rectangle, on choisit l’ordre qui produit la primitive la plus simple. Si les bornes sont constantes dans un ordre mais dépendent d’une variable dans l’autre, le premier ordre réduit souvent les calculs.
Sur un domaine non rectangulaire, un croquis indique comment une droite verticale ou horizontale le traverse. On choisit le sens qui décrit le domaine avec le moins de découpages, puis on écrit les bornes correspondantes.
En probabilités, une densité jointe s’intègre par rapport à une variable pour obtenir une densité marginale. Lorsque l’intégrande est positive, Tonelli sécurise ce calcul même avant d’avoir établi que le total est fini.
À ne pas confondre
Fubini et Tonelli. Fubini traite une fonction intégrable, éventuellement signée, et donne des intégrales itérées finies. Tonelli traite une fonction mesurable positive et accepte la valeur +∞. Une fonction positive dont l’intégrale diverge relève donc de Tonelli, mais pas du théorème de Fubini sous sa forme intégrable.
Changer l’ordre et changer les variables. Fubini échange la succession des intégrations tout en gardant les mêmes coordonnées et le même domaine. Un changement de variables remplace les coordonnées et introduit généralement un jacobien. Passer de bandes verticales à des bandes horizontales est un échange d’ordre ; passer aux coordonnées polaires est un changement de variables.
Limites et pièges
Convergence non absolue. Si les parties positive et négative produisent toutes deux une masse infinie, l’expression « +∞ − ∞ » n’a pas de valeur. Le symptôme est l’échec de l’intégrabilité de |f|. Il ne faut alors pas intervertir automatiquement les intégrales.
Sections exceptionnelles. Pour une fonction intégrable, les fonctions obtenues en fixant une variable ne sont garanties intégrables que presque partout. Une section exceptionnelle peut diverger sur un ensemble de mesure nulle sans contredire Fubini ; elle ne doit pas être présentée comme valable pour chaque point.
Total infini. Pour une fonction positive, Tonelli reste valable lorsque le total vaut +∞. L’égalité des intégrales ne signifie alors pas que f est intégrable au sens fini. Le cas charnière est précisément un total fini : la fonction positive devient alors intégrable.
Pour aller plus loin
La mesure produit explique la structure qui donne un sens précis à l’intégrale sur X × Y.
Tonelli (théorème de) développe le cas des fonctions positives, où l’ordre peut être échangé même lorsque la valeur commune est infinie.
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