Probabilités et statistiquesThéorème · Glossaire
théorème de Koenig-Huygens
En théorie des probabilités et en statistiques, le théorème de Koenig-Huygens est une identité reliant la variance d'une variable aléatoire à son espérance. Pour toute variable aléatoire réelle X admettant un moment d'ordre 2, on a : Var(X) = E[X²] − (E[X])². Cette relation se déduit directement du développement de la définition de la variance : Var(X) = E[(X − E[X])²] = E[X²] − 2·E[X]·E[X] + (E[X])² = E[X²] − (E[X])². Cet énoncé est également appelé formule de Koenig ou formule de König-Huygens. Il porte les noms de Samuel Koenig et de Christian Huygens. En pratique, cette identité est très utilisée car elle permet de calculer une variance à partir des moments d'ordre 1 et 2, souvent plus faciles à estimer.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Énoncer l’identité Var(X) = E[X²] − (E[X])² et définir chacun de ses termes.
- Calculer exactement une variance pour trois durées équiprobables de 1, 3 et 5 minutes.
- Contrôler le résultat avec la définition fondée sur les écarts à la moyenne.
- Repérer la condition de moment d’ordre 2 fini et le cas d’une variance nulle.
- Distinguer la variance du moment d’ordre 2 et la formule de sa définition.
En clair
Une durée tirée au hasard peut valoir 1, 3 ou 5 minutes, avec les mêmes chances. Sa moyenne est 3 minutes. Pour mesurer la dispersion autour de cette moyenne, on pourrait calculer séparément chaque écart.
La formule de Koenig-Huygens offre un autre chemin : on fait la moyenne des carrés 1, 9 et 25, puis on retire le carré de la moyenne. Le résultat est la variance. L’identité transforme ainsi un calcul d’écarts à la moyenne en deux calculs de moments.
Définition
Soit une variable aléatoire réelle X. Son espérance, notée E[X], représente sa valeur moyenne. Sa variance, notée Var(X), est l’espérance du carré de l’écart entre X et cette moyenne : . Le moment d’ordre 2 est l’espérance du carré de X, notée E[X2].
Lorsque X admet un moment d’ordre 2, le théorème de Koenig-Huygens, aussi appelé formule de Koenig ou formule de König-Huygens, donne : . Il relie donc la variance aux moments d’ordre 1 et 2. Si X mesure une grandeur dans une certaine unité, les deux termes soustraits et la variance s’expriment dans le carré de cette unité.
L’identité vient du développement du carré dans la définition : le terme croisé contient E[X], qui est une constante, et les trois termes se réduisent à E[X2] − (E[X])2. La formule change la manière de calculer la variance ; elle ne change ni sa définition ni son interprétation comme dispersion autour de la moyenne.
Le principe
Soit X une variable aléatoire réelle dont le moment d’ordre 2 est fini. Si E[X] désigne son espérance et E[X2] l’espérance de son carré, alors sa variance vérifie : . Pour appliquer l’identité, on calcule le moment d’ordre 2, puis on lui soustrait le carré du moment d’ordre 1.
Quand l'utiliser
La formule s’applique à une variable aléatoire réelle X qui admet un moment d’ordre 2 fini, c’est-à-dire que E[X2] existe et est fini. Il faut connaître ou pouvoir calculer E[X] et E[X2]. Leur différence donne alors une variance finie. Pour une loi discrète, les probabilités associées aux valeurs de X doivent aussi être connues afin de former ces deux espérances.
Un contre-cas concret est obtenu lorsque X prend chaque entier positif n avec la probabilité 1/[n(n + 1)]. Ces probabilités ont pour somme 1, mais E[X2] est la somme des termes n/(n + 1), qui diverge. La formule ne fournit donc pas de variance finie. Il faut alors décrire cette loi avec des caractéristiques qui existent effectivement, sans traiter l’identité comme une soustraction entre deux nombres finis.
Un exemple, pas à pas
Données. Une durée aléatoire X vaut 1, 3 ou 5 minutes, chaque valeur ayant la probabilité 1/3. On cherche sa variance par la formule de Koenig-Huygens.
1. L’espérance de X est la moyenne pondérée des trois durées : .
2. Les carrés des durées sont 1, 9 et 25 minutes carrées. Leur espérance vaut .
3. On soustrait le carré de l’espérance au moment d’ordre 2 : .
Contrôle. Les écarts à 3 minutes sont −2, 0 et 2 minutes. La moyenne de leurs carrés est (4 + 0 + 4)/3 = 8/3 minutes carrées, exactement le même résultat. La répartition des trois durées autour de 3 minutes permet aussi de voir cette symétrie.
En pratique
Lorsque la loi de X donne facilement ses valeurs et leurs probabilités, on calcule séparément E[X] et E[X2], puis on applique Koenig-Huygens. Cette voie est préférable si ces deux moments sont déjà disponibles.
Si les écarts à la moyenne sont plus simples que les carrés des valeurs, la définition Var(X) = E[(X − E[X])2] peut être plus directe. Dans l’exemple 1, 3, 5, les deux méthodes demandent peu de calculs et servent de contrôle mutuel.
Pour comparer deux calculs, une variance négative signale nécessairement une erreur : un carré moyen ne peut pas être négatif. Il faut alors reprendre les pondérations, le moment d’ordre 2 et le carré de l’espérance.
À ne pas confondre
Avec le moment d’ordre 2. E[X2] mesure la moyenne des carrés pris depuis zéro, tandis que Var(X) mesure les carrés des écarts à E[X]. Pour les durées 1, 3 et 5 minutes, le premier vaut 35/3 minutes carrées et la seconde 8/3 minutes carrées : le carré de la moyenne, égal à 9 minutes carrées, les sépare.
Avec la définition de la variance. La définition est E[(X − E[X])2] ; Koenig-Huygens est l’identité obtenue après développement. Si un exercice demande d’interpréter la dispersion, la forme centrée montre les écarts à la moyenne. S’il demande un calcul à partir de E[X] et E[X2], la formule de Koenig est la forme opératoire.
Limites et pièges
Moment d’ordre 2 non fini. Si E[X2] n’est pas un nombre fini, le membre de droite ne donne pas une variance finie. Le symptôme est l’impossibilité de former la première quantité de la soustraction. Il faut alors renoncer à ce calcul de variance et décrire la loi avec des caractéristiques qui existent effectivement.
Cas charnière : variance nulle. Lorsque X prend toujours la même valeur c, E[X2] et (E[X])2 valent tous deux c2. Leur différence est 0. Ce résultat ne signale pas un échec de la formule : il indique précisément une absence de dispersion.
Soustraction dans le mauvais ordre. Pour une variable non constante ayant un moment d’ordre 2 fini, écrire (E[X])2 − E[X2] produit une valeur négative. Dans l’exemple, 9 − 35/3 = −8/3. Une variance étant une moyenne de carrés, ce signe révèle l’inversion ; il faut calculer E[X2] − (E[X])2.
Pour aller plus loin
variance d'une variable aléatoire — Approfondit la mesure de dispersion que l’identité permet de calculer.
variable aléatoire — Précise l’objet auquel s’appliquent l’espérance, les moments et la variance.
Moment — Replace les espérances de X et de X2 dans la famille des moments.
écart-type — Prolonge le calcul de variance par une mesure exprimée dans l’unité de X.
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