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fonction tau
Pour tout entier naturel n ≥ 1, la fonction tau τ(n) est le nombre de diviseurs positifs de n. Si n > 1 se décompose en facteurs premiers avec des exposants α₁, …, αₖ, un diviseur choisit pour chaque facteur un exposant entre 0 et αᵢ : le total s’obtient en multipliant ces αᵢ + 1 possibilités, avec τ(1) = 1. Cette règle permet de compter les diviseurs sans les énumérer.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer le comptage des diviseurs de leur somme.
- Calculer tau à partir des exposants de la décomposition première.
- Vérifier le résultat sur les douze diviseurs de 60.
- Appliquer la multiplicativité seulement sous l’hypothèse de coprimalité.
En clair
Prenons 60 et cherchons les entiers positifs qui le divisent sans reste : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60. Il y en a douze. La fonction tau associe donc à 60 le nombre 12. Elle ne fait pas la somme de ces diviseurs : elle les compte.
La décomposition 60 = 2² × 3 × 5 évite de dresser cette liste. Les exposants indiquent combien de choix sont possibles pour construire chaque diviseur.
Définition
Pour un entier naturel positif n, la fonction tau, notée τ(n), est le nombre de diviseurs positifs de n. On l’appelle aussi fonction nombre de diviseurs. Si la décomposition de n en facteurs premiers fait intervenir les nombres premiers p₁, …, pₖ avec les exposants positifs α₁, …, αₖ, alors chaque diviseur choisit indépendamment un exposant compris entre 0 et αᵢ pour chaque facteur premier.
Cette règle donne la formule suivante :
La fonction tau est multiplicative : si deux entiers positifs a et b sont premiers entre eux, alors τ(ab) = τ(a)τ(b). Cette propriété ne signifie pas que l’égalité vaut pour toute paire d’entiers. Enfin, τ(1) = 1, car 1 possède un unique diviseur positif.
De quoi c'est fait
Le calcul repose sur quatre éléments. L’entier n est l’objet étudié. Ses facteurs premiers pᵢ sont les briques possibles d’un diviseur. Leurs exposants αᵢ fixent le nombre de puissances disponibles, de 0 à αᵢ. Enfin, le produit des nombres de choix donne τ(n).
Pour 60 = 2² × 3 × 5, un diviseur contient 2 à la puissance 0, 1 ou 2, puis 3 à la puissance 0 ou 1, et 5 à la puissance 0 ou 1. Les trois choix pour 2 se combinent avec les deux choix pour 3 et les deux choix pour 5. Ces données suffisent à construire chacun des 12 diviseurs, sans que leur ordre d’écriture change le résultat.
Un exemple, pas à pas
On cherche τ(60). Les données sont l’entier 60 et sa décomposition 60 = 2² × 3 × 5. Les exposants sont donc 2 pour le facteur 2, puis 1 pour les facteurs 3 et 5.
1. Pour la puissance de 2, on dispose de trois choix : 2⁰, 2¹ ou 2².
2. Pour la puissance de 3, on dispose de deux choix : 3⁰ ou 3¹.
3. Pour la puissance de 5, on dispose de deux choix : 5⁰ ou 5¹.
4. On multiplie les nombres de choix : τ(60) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12.
2. Pour la puissance de 3, on dispose de deux choix : 3⁰ ou 3¹.
3. Pour la puissance de 5, on dispose de deux choix : 5⁰ ou 5¹.
4. On multiplie les nombres de choix : τ(60) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12.
Le résultat est donc 12 diviseurs positifs. On le contrôle en les énumérant : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60. La liste contient bien douze nombres, tous obtenus par les choix d’exposants annoncés.
En pratique
Pour compter les diviseurs d’un entier déjà décomposé en facteurs premiers, la formule des exposants remplace une énumération qui devient vite longue. Pour 60, trois petits nombres à multiplier suffisent.
Pour tester un entier supérieur ou égal à 2, la valeur τ(n) = 2 caractérise un nombre premier : ses seuls diviseurs positifs sont alors 1 et lui-même. Un test de primalité spécialisé reste préférable pour de très grands entiers.
Pour un produit de deux entiers premiers entre eux, on peut calculer séparément leurs valeurs de tau, puis les multiplier. Si les deux entiers partagent un facteur premier, il faut plutôt réunir leurs exposants dans la décomposition du produit.
À ne pas confondre
La somme des diviseurs. La fonction tau compte les diviseurs positifs, tandis que la fonction sigma les additionne. Pour 60, τ(60) = 12, alors que la somme de ses diviseurs vaut 168.
Le produit des facteurs premiers distincts. Le radical d’un entier multiplie chaque facteur premier une seule fois. Pour 60, ce radical vaut 2 × 3 × 5 = 30, sans compter les diviseurs.
L’ajout de 1 aux facteurs premiers distincts. Pour 12, on ajoute séparément 1 aux facteurs premiers distincts : 1 + 2 + 3 = 6, ce qui coïncide fortuitement avec τ(12). Pour 60, 1 + 2 + 3 + 5 = 11, tandis que τ(60) = 12 : ce critère tranche immédiatement.
Limites et pièges
Le cas n = 1. Sa décomposition ne comporte aucun facteur premier, mais τ(1) vaut 1. La formule reste cohérente si le produit sans facteur est interprété comme 1.
Les facteurs distincts ne suffisent pas. Les exposants sont indispensables. Les entiers 30 = 2 × 3 × 5 et 60 = 2² × 3 × 5 ont les mêmes facteurs premiers distincts, mais τ(30) = 8 et τ(60) = 12.
La multiplicativité exige des entiers premiers entre eux. Comme 12 et 18 partagent les facteurs 2 et 3, τ(12 × 18) = τ(216) = 16, et non τ(12)τ(18) = 36. Il faut factoriser le produit et regrouper les exposants.
Pour aller plus loin
La fiche décomposition en facteurs premiers approfondit l’écriture qui transforme le comptage des diviseurs en produit de nombres de choix.
La fiche nombre premier précise le rôle des briques qui apparaissent dans la formule de la fonction tau.
L’article Connaître les diviseurs... sans diviser prolonge la méthode par une approche centrée sur la recherche des diviseurs.
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