Totitif

Pour observer l'idée, prenons le nombre 12. Parmi les entiers de 1 à 11, quatre seulement, 1, 5, 7 et 11, n'ont aucun diviseur commun avec 12 autre que 1. L'indicatrice d'Euler compte précisément ces entiers premiers avec le nombre choisi. Une fonction totitive organise ce type d'information de façon régulière : les produits de nombres sans facteur commun et les puissances de nombres premiers se traitent séparément.

Une fonction arithmétique associe une valeur à chaque entier positif. Elle est dite multiplicative lorsque f(1)=1 et que, pour deux entiers positifs a et b premiers entre eux, sa valeur au produit ab est le produit de ses valeurs en a et en b :
Dans la terminologie de la source, une fonction totitive est ici cette fonction multiplicative dont les valeurs sont reconstruites à partir de celles des puissances de nombres premiers : si $n={\prod }_i{p}_i^{k_i}n=\backslash prod\_i\; p\_i^\{k\_i\}$ est la décomposition de n en facteurs premiers, alors $f(n)={\prod }_{i}f(p_i^{k_i})f(n)=\backslash prod\_i\; f(p\_i^\{k\_i\})$.

L'indicatrice d'Euler, notée $\phi (n)\backslash varphi(n)$, en donne l'exemple classique : elle compte les entiers positifs inférieurs ou égaux à n qui sont premiers avec n. Pour n = 12, ces entiers sont 1, 5, 7 et 11, donc $\phi (12)=4\backslash varphi(12)=4$. La notion relie ainsi la multiplicativité à l'étude des entiers premiers entre eux.

On veut déterminer la valeur de l'indicatrice d'Euler en 12 et vérifier la décomposition utile. Les données sont les suivantes : 12 = 3 × 4, 3 et 4 sont premiers entre eux, et les entiers positifs inférieurs ou égaux à 12 sont examinés.

1. On écarte 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 et 12, car chacun partage un diviseur supérieur à 1 avec 12.

2. Il reste 1, 5, 7 et 11. Ces quatre entiers sont premiers avec 12, donc $\phi (12)=4\backslash varphi(12)=4$.

3. La décomposition 12 = 3 × 4 permet aussi d'écrire $\phi (12)=\phi (3)\phi (4)=2\times 2=4\backslash varphi(12)=\backslash varphi(3)\backslash varphi(4)=2\backslash times\; 2=4$. Pour voir les valeurs intermédiaires, parmi 1, 2 et 3 seul 1 est premier avec 3, donc $\phi (3)=2\backslash varphi(3)=2$ ; parmi 1, 2, 3 et 4, 1 et 3 sont premiers avec 4, donc $\phi (4)=2\backslash varphi(4)=2$. La condition est satisfaite parce que 3 et 4 sont premiers entre eux. Le contrôle consiste enfin à recompter la liste : elle contient bien quatre valeurs.

Pour calculer une indicatrice d'Euler sur un entier donné, on commence par chercher les entiers qui n'ont avec lui aucun facteur premier commun. Le geste réellement effectué est un comptage, comme pour 1, 5, 7 et 11 lorsque l'entier vaut 12.

Pour une fonction arithmétique plus générale, on préfère la décomposition en facteurs premiers lorsque les valeurs sur les puissances de nombres premiers sont connues. Cette méthode évite de tester séparément chaque entier et s'appuie sur la multiplicativité.

Une fonction multiplicative n'est pas nécessairement complètement multiplicative. La première règle ne s'applique qu'à des entiers a et b premiers entre eux, tandis que la seconde exigerait la même égalité même lorsqu'ils partagent un facteur. Dans l'exemple 12 = 3 × 4, l'hypothèse de coprimalité est satisfaite parce que 3 et 4 sont premiers entre eux ; pour conclure que $f(12)=f(3)f(4)f(12)=f(3)f(4)$, il faut en plus que f soit multiplicative. Ce seul calcul ne justifie pas une règle pour tous les produits.

Le mot « totitif » peut être lu trop vite comme s'il désignait seulement les entiers premiers avec un nombre. Ici, la définition de référence porte sur une fonction arithmétique ; les entiers premiers entre eux interviennent comme information comptée par l'indicatrice d'Euler. Il faut donc identifier l'objet avant de conclure.

La règle multiplicative ne permet pas de séparer deux facteurs qui ont un diviseur commun. Pour 12 = 2 × 6, 2 et 6 ne sont pas premiers entre eux : appliquer automatiquement la règle multiplicative à ce produit serait un piège. On revient alors à la définition ou à une décomposition en puissances de nombres premiers.

Dans le cas charnière de 12, le comptage porte sur les onze entiers strictement inférieurs à 12 et n'en retient que quatre : 1, 5, 7 et 11. La convention « inférieurs ou égaux à 12 » donne le même résultat ici, car 12 n'est pas premier avec lui-même ; il faut toutefois conserver une convention unique dans une comparaison.

Le glossaire fonction arithmétique précise le cadre dans lequel une fonction associe une valeur aux entiers positifs. Cette lecture aide à situer la propriété totitive avant d'étudier ses valeurs particulières.

Le théorème d'Euler - arithmétique - prolonge le lien avec l'indicatrice d'Euler et les entiers premiers entre eux. Il permet de replacer le comptage de l'exemple dans un résultat arithmétique plus large.