nombre d'Einstein

Prenons 7443 et décomposons-le en nombres premiers : 7443 = 3 × 3 × 827. Un facteur premier, 3, apparaît deux fois, tandis qu'un autre, 827, apparaît une fois. Cette répartition « un carré de premier, puis un autre premier » caractérise un nombre d'Einstein.

Le nom est un clin d'œil à E = mc² : la lettre c est mise au carré et m ne l'est pas. Ici, c vaut 3 et m vaut 827.

Un nombre d'Einstein est un entier dont la décomposition en facteurs premiers contient exactement deux nombres premiers distincts. L'un intervient avec l'exposant 2 et l'autre avec l'exposant 1. On note n l'entier, c le facteur premier au carré et m l'autre facteur premier. La condition complète est :

La distinction entre m et c est indispensable. Ainsi, 7443 convient avec c = 3 et m = 827, car sa décomposition est 3² × 827. Cette écriture est déterminée par l'unicité de la décomposition en facteurs premiers : le facteur d'exposant 2 joue nécessairement le rôle de c, et celui d'exposant 1 celui de m. Au total, un nombre d'Einstein possède trois facteurs premiers comptés avec multiplicité, mais seulement deux facteurs premiers distincts.

Vérifions que 7443 est un nombre d'Einstein. Le schéma associé matérialise les deux rôles différents joués par 3 et 827 dans sa factorisation.

Données.
Entier étudié : 7443.
Diviseur premier repéré : 3.
Quotient après division par 3² : 827.

Étape 1. La somme des chiffres de 7443 vaut 18. L'entier est donc divisible par 9 = 3².

Étape 2. La division donne 7443 ÷ 9 = 827, d'où la factorisation :

Étape 3. Pour contrôler que 827 est premier, il suffit d'essayer les nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée, qui est comprise entre 28 et 29. Aucun des nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23 ne divise 827.

Résultat. Les nombres 3 et 827 sont premiers et distincts. Avec c = 3 et m = 827, 7443 satisfait donc la définition. Contrôle final : 3² × 827 = 9 × 827 = 7443.

Pour reconnaître un candidat, on calcule sa décomposition complète en facteurs premiers. Si elle comporte un premier au carré et un autre premier à la puissance 1, le candidat convient. Une simple divisibilité par un carré ne suffit pas, car d'autres facteurs peuvent subsister.

Pour fabriquer des exemples, on choisit deux nombres premiers distincts, puis on multiplie l'un par le carré de l'autre. Avec c = 3 et m = 827, ce geste produit 7443. Cette construction est préférable à une recherche au hasard lorsque l'objectif est d'obtenir un exemple garanti.

Pour étudier une suite d'entiers consécutifs, on factorise chaque terme séparément. Le triplet 7442, 7443 et 7444 est remarquable parce que chacun passe le même critère, avec des couples de nombres premiers différents.

Nombre d'Einstein et carré parfait. Dans un carré parfait, tous les exposants de la décomposition en facteurs premiers sont pairs. Un nombre d'Einstein possède au contraire un facteur premier d'exposant 1. Ainsi, 36 = 2² × 3² est un carré parfait, mais pas un nombre d'Einstein.

Trois facteurs premiers et forme mc². Compter trois facteurs avec multiplicité ne suffit pas. Le nombre 30 = 2 × 3 × 5 en possède trois, mais aucun n'est répété ; il n'a donc pas la forme requise.

Relation arithmétique et formule physique. E = mc² relie des grandeurs physiques, tandis que n = mc² décrit ici une forme de factorisation entière. Le nom signale un jeu d'écriture, pas une application de la relativité.

Les deux nombres premiers doivent être distincts. Le nombre 8 s'écrit 2 × 2², mais les deux rôles seraient tenus par le même premier. Il faut donc le rejeter.

Aucun facteur supplémentaire n'est admis. Le nombre 72 = 2³ × 3² contient bien un carré de premier, mais l'exposant 3 du facteur 2 dépasse l'exposant 1 requis. Il faut examiner toute la factorisation, et pas seulement y repérer un carré.

Le rôle du facteur carré ne se permute pas librement. Le nombre 12 = 3 × 2² est un nombre d'Einstein avec c = 2 et m = 3. Échanger ces valeurs donnerait 2 × 3² = 18, un autre entier.

Le seuil n ≥ 2 n'est pas le premier exemple. Le plus petit couple possible pour minimiser mc² est c = 2 et m = 3. Le plus petit nombre d'Einstein est donc 12 ; aucun entier de 2 à 11 ne peut satisfaire la forme avec deux premiers distincts.

La fiche décomposition en facteurs premiers donne le langage qui permet de lire les exposants 2 et 1 sans ambiguïté.

La notion de nombre premier précise pourquoi m et c ne peuvent pas être remplacés par des facteurs composés.

La fiche Carré parfait aide à distinguer un facteur premier au carré d'un entier dont tous les exposants sont pairs.