Faulhaber Johann

En 1631, à Ulm, Johann Faulhaber publie dans son Academia Algebra des formules pour additionner les puissances d'entiers consécutifs. Au lieu de calculer une longue somme terme après terme, il cherche une expression qui dépend seulement du dernier entier.

Avec les cinq premiers cubes, il s'agit par exemple de réunir 1, 8, 27, 64 et 125. Leur total, 225, est aussi le carré de 15, la somme des entiers de 1 à 5. Ce raccourci illustre le type de régularité auquel son nom reste attaché.

Johann Faulhaber (1580–1635) est un mathématicien allemand de la Renaissance et un représentant de la Coss, l'école algébrique germanique à laquelle appartiennent aussi Christoff Rudolff et Michael Stifel. Formé d'abord au métier de tisserand, il étudie les mathématiques à Ulm. Il y exerce ensuite les fonctions de conseiller municipal, d'architecte et d'expert en fortifications. Il entretient des relations intellectuelles avec Kepler, Ludolph van Ceulen et Descartes.

Faulhaber contribue également à diffuser les logarithmes en Allemagne. Il est le premier à y publier les tables établies par Briggs. Sa contribution la plus originale porte toutefois sur les sommes de puissances d'entiers consécutifs, présentées dans l'Academia Algebra de 1631. Pour un entier positif noté n, un exemple de ce problème consiste à calculer la somme des cubes de 1 jusqu'à n : $1^3+2^3+\cdots +n^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^{2}1^3+2^3+\backslash cdots+n^3=\backslash left(\backslash frac\{n(n+1)\}\{2\}\backslash right)^2$.

Les formules de Faulhaber font apparaître implicitement les nombres de Bernoulli environ un siècle avant les travaux de Bernoulli. Bernoulli cite Faulhaber dans son Ars Conjectandi. La démonstration rigoureuse de ces formules sera donnée par Jacobi en 1834.

Prenons comme dernier entier n = 5. Les cinq termes à additionner sont les cubes de 1, 2, 3, 4 et 5.

1. Calculons chaque cube : 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64 et 5³ = 125.

2. L'addition directe donne $1+8+27+64+125=2251+8+27+64+125=225$.

3. La formule des sommes de cubes donne le même résultat : ${\left(\frac{5\times 6}{2}\right)}^2={15}^2=225\backslash left(\backslash frac\{5\backslash times6\}\{2\}\backslash right)^2=15^2=225$.

Le résultat est donc 225. Le contrôle est entièrement refaisable : la somme ordinaire 1 + 2 + 3 + 4 + 5 vaut 15, et son carré vaut bien 225.

Pour une petite borne comme 5, l'addition directe des cubes reste le meilleur contrôle : chaque terme est visible et le total se vérifie rapidement. La formule fournit alors un second chemin indépendant vers 225.

Lorsque le dernier entier devient grand, écrire tous les termes allonge inutilement le calcul. Une formule de somme de puissances remplace cette liste par une expression qui ne dépend que de ce dernier entier.

Pour étudier l'histoire de ce calcul, il faut distinguer trois jalons : les formules exposées par Faulhaber en 1631, leur lien implicite avec les nombres de Bernoulli, puis leur démonstration rigoureuse par Jacobi en 1834.

Faulhaber et Bernoulli. Les formules de Faulhaber font apparaître implicitement les nombres de Bernoulli, mais les travaux de Bernoulli sont postérieurs d'environ un siècle. Le fait que Bernoulli cite Faulhaber dans l'Ars Conjectandi permet de séparer les deux contributions.

Une formule et sa démonstration. L'Academia Algebra de 1631 expose les formules de sommes de puissances ; leur démonstration rigoureuse est attribuée à Jacobi en 1834. Une date associée à l'énoncé ne doit donc pas être prise pour la date de sa preuve.

Le raccourci dépend de la puissance. L'identité utilisée pour les cubes ne calcule pas automatiquement une somme de carrés ou de quatrièmes puissances. Le symptôme du piège est un exposant différent de 3 ; il faut alors employer la formule correspondant à cet exposant.

La borne doit correspondre aux termes. Dans l'exemple, n = 5 signifie que la somme commence à 1 et s'arrête à 5. Omettre 1 fait tomber le total de 225 à 224 ; omettre 5 le fait tomber à 100. Il faut donc vérifier le premier et le dernier terme avant d'appliquer la formule.

« Implicitement » n'est pas « sous leur forme ultérieure ». La source indique que les nombres de Bernoulli apparaissent implicitement dans les formules de Faulhaber. Elle n'autorise pas à lui attribuer la présentation ou la terminologie développée plus tard ; il faut conserver cette nuance historique.

Table de logarithmes — Situer l'autre contribution de Faulhaber : la diffusion en Allemagne des tables établies par Briggs.