Machin John

En 1706, le mathématicien anglais John Machin cherche à obtenir davantage de décimales de π. Son idée est de remplacer ce calcul difficile par deux calculs d'angles très petits : l'un associé à 1/5, l'autre à 1/239.

Les séries de l'arc tangente avancent vite avec de telles petites valeurs. En combinant les deux résultats, Machin atteint les cent premières décimales de π. La formule rend ainsi un calcul immense accessible par une succession d'additions et de divisions.

John Machin (1680-1751) est un mathématicien anglais connu surtout pour une identité permettant de calculer π. L'arc tangente, noté arctan, associe à un nombre l'unique angle compris strictement entre −π/2 et π/2 dont la tangente vaut ce nombre. La formule de Machin combine deux de ces angles :

Cette identité s'applique au calcul numérique de π. Le développement en série de la fonction arctan alterne additions et soustractions de puissances impaires. Comme 1/5 et 1/239 sont proches de zéro, ces puissances deviennent rapidement minuscules : peu de termes donnent déjà une bonne approximation. Machin utilisa ce mécanisme en 1706 pour calculer les cent premières décimales de π. Professeur de mathématiques réputé, il eut Brook Taylor parmi ses élèves et correspondit avec lui pendant de nombreuses années. Il fut aussi l'ami d'Abraham de Moivre.

On veut retrouver une approximation de π avec la formule de Machin. Pour un nombre x proche de zéro, l'arc tangente est approchée par la somme alternée suivante :

Données
Premier argument : 1/5 = 0,2.
Second argument : 1/239 ≈ 0,0041841004.
Nombre de termes retenus pour le premier arc tangente : 6.
Nombre de termes retenus pour le second : 2, les suivants étant déjà inférieurs à 3 × 10⁻¹³.

1. Avec six termes, la somme alternée pour arctan(1/5) vaut environ 0,197395559789.

2. Avec deux termes, la somme pour arctan(1/239) vaut environ 0,00418407600182.

3. La combinaison 4 × 0,197395559789 − 0,00418407600182 vaut environ 0,785398163154.

4. En multipliant par 4, on obtient π ≈ 3,14159265262. Le contrôle est refaisable : l'écart avec 3,14159265359 est inférieur à un milliardième.

Pour refaire le calcul historique, on développe séparément arctan(1/5) et arctan(1/239), puis on applique les coefficients de la formule. Le geste décisif consiste à conserver assez de termes pour la précision visée.

Pour contrôler une approximation, on compare la taille du premier terme omis à la précision recherchée. Dans les deux séries alternées utilisées ici, ce terme majore l'erreur de troncature. On conserve aussi des chiffres de garde jusqu'à l'arrondi final.

Pour comparer deux procédés fondés sur arctan, on observe la valeur absolue de leurs arguments. À coefficients et précision comparables, des arguments plus proches de zéro font décroître les puissances plus vite et réduisent le nombre de termes nécessaires.

John Machin et la formule de Machin. Le premier est le mathématicien anglais né en 1680 ; la seconde est l'identité qui combine deux valeurs d'arc tangente. Une date biographique concerne la personne, tandis qu'un calcul de π mobilise la formule.

Identité exacte et approximation par une série. La formule reliant π aux deux arcs tangentes est exacte. Un calcul qui ne garde qu'un nombre fini de termes de leurs séries est approché : le signe ≈, et non le signe =, doit alors accompagner le résultat numérique.

Formule de Machin et développement de Taylor. La formule combine des angles particuliers. Le développement en série est l'outil qui évalue chaque arc tangente ; il peut s'appliquer à bien d'autres fonctions et valeurs.

Une série tronquée ne livre pas cent décimales. Les six termes de l'exemple reproduisent les huit premières décimales de π après la virgule. Pour aller plus loin, il faut poursuivre la somme et contrôler le premier terme omis.

La rapidité dépend de l'argument. Le développement utilisé ici converge efficacement parce que les valeurs absolues de 1/5 et 1/239 sont petites. Remplacer ces nombres par une valeur proche de 1 ralentit fortement la diminution des termes.

Les arrondis intermédiaires s'accumulent. Arrondir arctan(1/5) trop tôt est particulièrement visible, car cette valeur est multipliée par 4, puis l'ensemble l'est encore par 4. Il faut conserver des chiffres de garde jusqu'au résultat final.

Le nom ne suffit pas à préciser toute attribution. La source établit que l'identité porte le nom de Machin et qu'il l'a utilisée en 1706. Elle ne documente pas ici une histoire complète de ses démonstrations ou de ses reprises ultérieures.

La formule de Machin ouvre trois pistes : comparer d'autres calculs de π, comprendre les séries qui rendent l'approximation efficace et replacer ce travail dans le réseau savant de son époque.

Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) — Une autre manière d'approcher π, fondée sur des tirages aléatoires plutôt que sur l'arc tangente.

développement en série de Taylor — Le cadre général des approximations polynomiales auquel se rattache la série utilisée dans le calcul.

Taylor Brook — Le parcours de l'élève de Machin avec lequel il entretint une longue correspondance.