GéométrieThéorème · Glossaire
paradoxe des indivisibles
Le paradoxe des indivisibles apparaît lorsqu’on traite une figure comme une infinité de tranches sans épaisseur et qu’on déduit l’égalité des aires ou des volumes d’une simple correspondance entre ces tranches. Or leur nombre ne suffit pas : pour appliquer correctement le principe de Cavalieri, les figures doivent avoir la même hauteur et leurs sections, prises dans une même direction à chaque hauteur correspondante, doivent avoir la même mesure. Il révèle ainsi la nécessité de définir rigoureusement la mesure et la sommation des sections.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l'erreur qui consiste à compter des tranches sans mesurer leurs sections.
- Vérifier sur un triangle que les deux sous-aires valent 4 et 8 unités carrées.
- Énoncer la condition correcte du principe de Cavalieri.
- Relier la méthode historique au cadre rigoureux du calcul intégral.
En clair
Imaginez un triangle découpé en tranches horizontales aussi fines que possible. Si l'on compte seulement une tranche à chaque hauteur, les deux morceaux séparés par une hauteur semblent en contenir autant. Pourtant, certaines tranches sont deux fois plus longues d'un côté que de l'autre.
Le paradoxe des indivisibles vient de cet oubli : des tranches en même nombre ne représentent pas nécessairement la même aire. La méthode devient fiable lorsque la longueur de chaque tranche et la façon de les additionner sont définies avec précision.
Définition
Le paradoxe des indivisibles désigne les conclusions contradictoires obtenues quand une aire ou un volume est traité comme une simple collection d'éléments infiniment minces, sans définir leur grandeur ni une somme infinie rigoureuse. La méthode historique des indivisibles associe à une figure plane ses sections parallèles et à un solide ses sections planes.
Dans le cadre moderne, le principe de Cavalieri compare deux figures de même hauteur : si leurs sections, prises à toute hauteur correspondante, ont la même longueur, alors leurs aires sont égales. Compter une section de chaque côté ne suffit donc pas ; il faut comparer leurs longueurs. De même, pour des solides, les aires des sections correspondantes doivent être égales.
Les exemples attribués à Paul Guldin révèlent ce défaut de formulation : un raisonnement naïf peut annoncer des aires égales dans un triangle alors qu'elles diffèrent, ou des aires différentes dans un rectangle alors que sa diagonale forme deux triangles égaux. Les travaux de Pascal et de Barrow ont contribué à préciser ces raisonnements ; le calcul intégral développé par Leibniz leur a ensuite donné un cadre rigoureux.
Le principe
Pour comparer deux figures planes comprises entre les mêmes droites parallèles, on choisit une direction de découpe. Si, à chaque hauteur, les sections parallèles ont la même longueur, alors les deux figures ont la même aire. Pour des solides de même hauteur, l'égalité doit porter sur l'aire de chaque section plane. Une simple correspondance entre tranches, sans égalité de leur mesure, ne permet aucune conclusion sur l'aire ou le volume.
Quand l'utiliser
La comparaison exige une même direction de coupe, une même étendue de hauteurs et des sections mesurables à chaque niveau. Pour des figures planes, on compare la longueur totale des sections, même lorsqu'une section comporte plusieurs morceaux. Pour des solides, on compare leur aire totale.
Dans le triangle ABC de base BC = 6 et de hauteur AH = 4, une coupe à mi-hauteur mesure 1 unité dans ABH et 2 unités dans ACH. Les sections ne sont donc pas égales : le principe de Cavalieri ne conclut pas à l'égalité des aires. Il faut calculer les longueurs des coupes ou employer l'intégrale, plutôt que compter les coupes.
Un exemple, pas à pas
Considérons le triangle ABC dont la base BC mesure 6 unités et la hauteur AH mesure 4 unités. Le pied H partage la base en BH = 2 et HC = 4. Les côtés AB et AC ont donc des longueurs différentes.
1. Les triangles ABH et ACH ont la même hauteur AH, mais leurs bases n'ont pas la même longueur.
2. L'aire de ABH vaut unités carrées.
3. L'aire de ACH vaut unités carrées.
4. Leur somme vaut 12 unités carrées, comme l'aire du triangle ABC : .
2. L'aire de ABH vaut unités carrées.
3. L'aire de ACH vaut unités carrées.
4. Leur somme vaut 12 unités carrées, comme l'aire du triangle ABC : .
À mi-hauteur, la coupe de ABH mesure 1 unité et celle de ACH en mesure 2. La figure rend visible cette différence. Le contrôle par les bases et celui par les coupes donnent le même rapport : l'aire de ACH est le double de celle de ABH, et non son égale.
En pratique
Pour comparer des aires sans formule directe, on trace des coupes parallèles et on mesure leur longueur à des hauteurs correspondantes. Si ces longueurs coïncident partout, le principe de Cavalieri convient ; sinon, une intégrale permet de prendre en compte leur variation.
Pour repérer un faux paradoxe, on demande ce qui est réellement mis en correspondance. Le même nombre de tranches n'est pas un critère : il faut vérifier leur longueur pour une aire, ou leur aire pour un volume.
Pour contrôler un résultat géométrique, on utilise une seconde méthode. Dans l'exemple du triangle, la formule base × hauteur ÷ 2 confirme immédiatement les aires 4 et 8 et révèle l'erreur du raisonnement par simple comptage.
À ne pas confondre
Le paradoxe des indivisibles et le principe de Cavalieri. Le premier signale un raisonnement insuffisamment défini ; le second est un critère valide lorsque les sections correspondantes ont la même mesure. Dans l'exemple, les coupes de 1 et 2 unités empêchent d'appliquer le principe.
Un indivisible et une tranche d'épaisseur positive. Une bande, même très mince, possède une aire égale à sa longueur multipliée par son épaisseur. Une section idéale d'épaisseur nulle ne se manipule pas comme une bande ordinaire ; l'intégrale formalise le passage à la limite.
Limites et pièges
Compter au lieu de mesurer. Deux familles peuvent contenir une tranche à chaque hauteur sans avoir la même aire. Le symptôme est une conclusion tirée d'une simple correspondance. Il faut comparer la longueur de chaque coupe ; dans l'exemple, 1 unité n'est pas égale à 2.
Oublier plusieurs morceaux. Une droite peut couper une figure non convexe en plusieurs segments. Comparer seulement le segment le plus long fausse le critère. Il faut additionner les longueurs de tous les morceaux situés à la même hauteur.
Changer de découpe en cours de comparaison. Des sections prises selon des directions ou des niveaux différents ne sont pas correspondantes. Il faut fixer les mêmes droites parallèles et le même repérage des hauteurs.
Faire confiance au résultat paradoxal. Une diagonale partage tout rectangle en deux triangles superposables, donc de même aire. Si un calcul par indivisibles annonce des aires différentes, cette contradiction révèle un défaut dans la mise en correspondance ou la sommation ; la symétrie ou la formule de l'aire sert de contrôle.
Pour aller plus loin
Le principe de Cavalieri précise la condition qui manque aux raisonnements paradoxaux : l'égalité de la mesure des sections correspondantes.
Le calcul intégral remplace l'idée vague d'une somme d'indivisibles par une limite définie. Cette formalisation explique pourquoi une intuition géométrique peut être féconde tout en exigeant des hypothèses précises.
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