GéométrieNotion · Glossaire
quadrature d'une cycloïde
La cycloïde, courbe tracée par un point d'un cercle roulant sur une droite, a été intensément étudiée au XVIIe siècle. L'aire d'une arche de cycloïde est égale à 3 pi R², soit trois fois l'aire du cercle générateur de rayon R. Ce résultat a été démontré par Gilles Personne de Roberval en 1635, à l'aide de la méthode des indivisibles reposant sur le principe de Cavalieri.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l’aire visée par la quadrature d’une cycloïde.
- Calculer l’aire exacte 3πR² pour une arche complète.
- Contrôler le résultat sur un cercle de rayon 2 cm.
- Relier le résultat de Roberval à la méthode des indivisibles et au principe de Cavalieri.
En clair
Imaginez un point marqué sur le bord d’une roue. Quand la roue avance sans glisser, ce point monte, redescend et touche de nouveau le sol : sa trace forme une arche de cycloïde. La quadrature consiste à déterminer l’aire comprise entre cette arche et la droite sur laquelle roule la roue.
Le résultat est remarquable : cette aire vaut exactement trois fois celle de la roue génératrice. Ainsi, changer la taille de la roue change l’aire, mais jamais ce facteur trois.
Définition
La quadrature d’une cycloïde est la détermination exacte de l’aire située sous une arche complète de cette courbe. La cycloïde est la trajectoire d’un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser le long d’une droite. Une arche complète correspond au mouvement compris entre deux contacts successifs de ce point avec la droite.
Le rayon du cercle générateur est noté R, avec R strictement positif. Si l’angle de rotation est noté t et varie de 0 à 2π, une paramétrisation de l’arche est donnée par . L’aire A comprise entre l’arche et sa base vérifie alors . Elle est donc trois fois l’aire πR2 du cercle générateur.
Gilles Personne de Roberval a démontré ce résultat en 1635 par la méthode des indivisibles, fondée sur le principe de Cavalieri. Cette méthode compare des sections correspondantes plutôt que de calculer l’aire par l’intégrale moderne. La figure d’une arche et de son cercle générateur rend visible le rapport exact entre les deux aires.
Un exemple, pas à pas
Une roue de rayon 2 cm roule sans glisser et le point marqué sur son bord décrit une arche complète. Les données sont le rayon R = 2 cm, une rotation complète de 0 à 2π et la formule de l’aire A = 3πR2.
1. Élever le rayon au carré.
2. Calculer l’aire du cercle générateur.
3. Appliquer le facteur trois.
4. Donner une valeur décimale.
Avec π ≈ 3,1416, l’aire vaut environ 37,70 cm2, arrondie au centième.
Avec π ≈ 3,1416, l’aire vaut environ 37,70 cm2, arrondie au centième.
Le contrôle consiste à diviser 12π cm2 par l’aire 4π cm2 du cercle : le quotient est exactement 3. L’unité est bien une unité d’aire, le centimètre carré.
En pratique
Pour obtenir rapidement l’aire d’une arche, on mesure le rayon du cercle générateur, on calcule πR2, puis on multiplie par 3. Si le rayon n’est pas connu mais que le diamètre l’est, il faut d’abord diviser ce diamètre par 2.
Dans une démonstration moderne, la paramétrisation de la cycloïde permet un calcul intégral direct. La méthode des indivisibles est préférable lorsque l’objectif est de comprendre l’argument historique de Roberval et la comparaison de sections issue du principe de Cavalieri.
Pour contrôler un tracé, on repère deux points de contact successifs avec la droite : ils délimitent une arche complète. Une portion arrêtée avant le contact suivant exige un calcul adapté et ne relève pas directement de la formule 3πR2.
À ne pas confondre
Quadrature d’une cycloïde et définition de la cycloïde. La définition décrit comment la courbe est engendrée ; la quadrature cherche l’aire sous une arche. Tracer la trajectoire du point répond à la première question, obtenir 3πR2 répond à la seconde.
Aire sous l’arche et longueur de l’arche. L’aire se mesure en unités carrées et vaut 3πR2. Une longueur se mesure en unités simples : si le résultat est exprimé en cm plutôt qu’en cm2, le calcul ne porte pas sur la quadrature.
Quadrature historique et construction d’un carré. Ici, « quadrature » désigne d’abord la détermination de l’aire. Le résultat de Roberval établit cette aire par comparaison d’indivisibles ; il ne faut pas y lire automatiquement une construction à la règle et au compas.
Limites et pièges
Arche incomplète. La formule 3πR2 vaut pour une arche entière, entre deux contacts successifs avec la droite. Si la courbe est tronquée, l’absence du second contact signale qu’il faut calculer l’aire de la portion réellement parcourue.
Roulement avec glissement. La cycloïde considérée suppose que le cercle roule sans glisser. Si la distance parcourue ne correspond plus à la rotation du cercle, la trajectoire change et le facteur trois ne s’applique pas sans nouvelle démonstration.
Rayon nul ou signe artificiel. Le rayon géométrique vérifie R > 0. Au cas charnière R = 0, le cercle et l’arche se réduisent à un point et l’aire devient nulle ; un rayon négatif n’a pas de sens géométrique ici.
Valeur exacte et valeur approchée. Pour R = 2 cm, 12π cm2 est exact, tandis que 37,70 cm2 est un arrondi. Remplacer le signe ≈ par = ferait perdre cette distinction.
Pour aller plus loin
La fiche cycloïde détaille la courbe engendrée par le cercle roulant, indépendamment du calcul de son aire.
Le principe de Cavalieri explique pourquoi la comparaison de sections peut établir l’égalité de deux aires.
La méthode des indivisibles replace la démonstration de Roberval dans une démarche précurseure du calcul intégral.
L’article Les débuts de la cycloïde prolonge la lecture par l’histoire des premières recherches consacrées à cette courbe.
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