Guldin Paul

En 1609, à Rome, Paul Guldin est admis à l'Université grégorienne pour étudier auprès de Christoph Clavius. Cet ancien orfèvre devenu jésuite fait de la géométrie son domaine d'étude. Son idée la plus célèbre suit un centre de gravité pendant une rotation. La longueur du trajet transforme alors la longueur d'une courbe en aire, ou l'aire d'une figure plane en volume. Les théorèmes de Pappus-Guldin évitent ainsi de reconstruire le solide tranche par tranche.

Paul Guldin, né Habakuk Guldin (1577–1643), est un mathématicien et astronome suisse. D'abord orfèvre, il se convertit au catholicisme, entre dans la Compagnie de Jésus en 1597 et prend le prénom Paul. Après ses études romaines auprès de Christoph Clavius, il enseigne les mathématiques à Rome, Graz et Vienne, correspond avec Johannes Kepler et publie en astronomie comme en mathématiques.

Les deux théorèmes de Guldin, aussi appelés théorèmes de Pappus-Guldin, concernent une rotation complète autour d'un axe situé dans le plan de l'objet générateur. Dans leur forme classique, l'axe ne coupe ni la courbe qui engendre la surface ni l'intérieur de la région qui engendre le solide. Le centre de gravité de l'objet parcourt alors un cercle.

La longueur de la courbe est notée L, l'aire de la région plane B et la distance de leur centre de gravité à l'axe d. L'aire S de la surface et le volume V du solide vérifient :
Le facteur 2πd est la longueur du trajet circulaire du centre de gravité. Guldin critique par ailleurs la méthode des indivisibles de Bonaventura Cavalieri lorsqu'elle est employée sans précaution, en soulignant les paradoxes possibles.

Un cercle de rayon r = 2 cm tourne autour d'un axe de son plan. Son centre G est à R = 5 cm de l'axe. Comme R est supérieur à r, l'axe reste extérieur au disque ; la rotation engendre un tore. Le schéma fixe ces deux distances et rend visible la condition R > r.

1. La courbe génératrice est le cercle. Sa longueur vaut L = 2πr = 4π cm, tandis que son centre parcourt 2πR = 10π cm.

2. Le premier théorème donne l'aire de la surface du tore :

3. La région génératrice est le disque, d'aire B = πr² = 4π cm². Le second théorème donne :

4. Le contrôle retrouve les formules usuelles du tore, S = 4π²Rr et V = 2π²Rr². Les deux valeurs numériques ont ici le même coefficient 40π², mais leurs unités diffèrent : cm² pour l'aire et cm³ pour le volume.

Pour un objet obtenu par rotation, les théorèmes de Guldin sont efficaces lorsque la longueur ou l'aire de la génératrice et la position de son centre de gravité sont déjà connues. Le calcul du tore remplace alors une intégration par un produit.

Si l'axe coupe la génératrice, ou si la rotation recouvre plusieurs fois une même zone, la forme classique du théorème ne s'applique pas directement. Il faut décomposer l'objet en parties compatibles ou revenir à un calcul intégral qui tient compte des recouvrements.

Dans l'histoire des mathématiques, Guldin permet aussi d'observer deux approches des aires et des volumes : ses relations par centres de gravité et la méthode des indivisibles de Cavalieri. Le point à examiner est la justification des passages à la limite, pas seulement le résultat numérique.

Les théorèmes de Guldin ne se confondent pas avec la méthode des indivisibles de Cavalieri. Guldin relie une mesure de la génératrice au trajet de son centre de gravité ; la méthode de Cavalieri compare ou agrège des sections. Pour le tore de l'exemple, Guldin utilise directement le cercle générateur et la distance R = 5 cm.

Il faut aussi distinguer les deux théorèmes. Une courbe en rotation produit une surface, donc une aire en cm² ; une région plane en rotation produit un solide, donc un volume en cm³. Employer le périmètre du disque dans le second calcul donnerait la mauvaise grandeur.

La forme classique suppose que l'axe ne coupe pas la courbe génératrice pour le calcul de surface, ni la région génératrice pour celui du volume. Dans l'exemple, le cas charnière est R = r = 2 cm : l'axe devient tangent au disque. Si R < r, il traverse son intérieur ; appliquer mécaniquement V = 2πRB ne décrit plus sans précaution le volume géométrique de l'union engendrée.

Un trajet du centre de gravité ne suffit pas si la rotation crée des recouvrements comptés plusieurs fois. Le symptôme est qu'un même point du solide est balayé par plusieurs parties de la génératrice. Il faut alors décomposer la figure ou employer une intégration adaptée à l'union recherchée.

La prudence vaut aussi pour les indivisibles. La source signale que Guldin met en évidence des paradoxes lorsque cette méthode est appliquée sans précaution. Une intuition par tranches doit donc être accompagnée d'hypothèses et d'un raisonnement qui justifie l'agrégation des sections.

Deux prolongements replacent le résultat de Guldin dans son vocabulaire géométrique et dans le débat historique évoqué par la source.

centre de gravité — Approfondir le point dont le trajet fournit le facteur commun aux deux théorèmes de Guldin.

Cavalieri Bonaventura — Situer le mathématicien et la méthode des indivisibles auxquels Guldin s'est opposé.