GéométrieThéorème · Glossaire
paradoxe des deux roues d'Aristote
Le paradoxe des deux roues d'Aristote considère deux cercles concentriques et solidaires, de rayons différents : la grande roue roule sans glissement sur une droite tandis que la petite tourne avec elle au-dessus d'une droite parallèle. Après un tour, ils ont subi la même translation, ce qui semble imposer à leurs circonférences des longueurs égales. L'erreur est de supposer que la petite roue roule elle aussi sans glissement : elle glisse, car seul le grand cercle est en contact roulant avec son support.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l’hypothèse de roulement sans glissement appliquée à tort à la petite roue.
- Refaire le calcul avec des rayons 2 et 1 et obtenir un glissement de 2π unités.
- Distinguer une bijection entre points d’une égalité de circonférences.
En clair
Imaginez deux roues de rayons différents, fixées sur le même axe et incapables de tourner l’une sans l’autre. Après un tour, elles ont avancé ensemble de la même distance. Pourtant, le bord de la petite roue est plus court que celui de la grande.
L’illusion vient du verbe « rouler ». La grande roue roule réellement sans glisser sur le sol. La petite tourne d’un tour, mais son bord se déplace aussi le long de la droite parallèle : il glisse. Une rotation commune n’impose donc pas des circonférences égales.
Définition
Le paradoxe met en scène deux cercles concentriques, solidaires et de rayons différents. Appelons R le rayon du grand cercle et r celui du petit, avec R supérieur à r. Quand le grand cercle accomplit un tour en roulant sans glissement, l’ensemble avance de 2πR. Le petit cercle accomplit le même angle de rotation et son centre subit la même translation.
La conclusion trompeuse consiste à attribuer aussi au petit cercle un roulement sans glissement. Or sa circonférence vaut 2πr, pas 2πR. Le déplacement supplémentaire, égal à 2π(R − r) sur un tour, correspond au glissement de son bord le long de la droite parallèle imaginée.
Chaque direction issue du centre associe bien un point du grand cercle à un point du petit : c’est une bijection. Cette correspondance entre deux ensembles infinis ne conserve toutefois ni les longueurs d’arcs ni les distances. Elle montre que les deux cercles ont autant de points au sens de la puissance du continu, et non qu’ils ont la même circonférence.
Le principe
Si deux cercles concentriques et solidaires de rayons R et r, avec R supérieur à r, tournent d’un tour tandis que le grand roule sans glissement, alors leur translation commune vaut 2πR. Le petit cercle ne peut donc pas rouler sans glissement sur sa droite parallèle : son bord y glisse sur une distance totale de 2π(R − r).
Quand l'utiliser
Le raisonnement suppose deux cercles de même centre, rigidement liés, et une grande roue qui effectue exactement un tour sans glisser sur une droite fixe. Les deux cercles ont alors la même vitesse angulaire et la même translation, mais leurs bords parcourent des longueurs différentes autour de leur centre.
Si les deux roues peuvent tourner indépendamment, elles ne font pas nécessairement un tour ensemble : l’argument ne s’applique plus. Si R égale r, les cercles se confondent et le glissement calculé est nul ; il n’y a plus de paradoxe. Enfin, imposer deux contacts sans glissement avec deux droites fixes est incompatible lorsque les rayons diffèrent.
Un exemple, pas à pas
Prenons une grande roue de rayon 2 unités et une petite roue concentrique de rayon 1 unité. Elles sont solidaires, et la grande roue roule sans glissement pendant un tour complet. La figure matérialise la différence entre l’avancée commune et le bord plus court de la petite roue.
Données
Grand rayon : R = 2 unités.
Petit rayon : r = 1 unité.
Rotation commune : un tour.
Grand rayon : R = 2 unités.
Petit rayon : r = 1 unité.
Rotation commune : un tour.
1. La grande roue avance de sa circonférence : 2π × 2 = 4π unités.
2. La petite roue tourne aussi d’un tour, mais sa circonférence vaut seulement 2π × 1 = 2π unités.
3. Son centre ayant avancé de 4π unités, le décalage cumulé de son bord sur la droite parallèle vaut 4π − 2π = 2π unités.
4. Le contrôle est immédiat : l’avancée 4π égale bien la circonférence de la grande roue, tandis qu’elle vaut deux fois celle de la petite. Cette différence interdit un second roulement sans glissement.
En pratique
Face à deux roues solidaires, commencez par identifier la surface qui touche réellement le support. C’est ce contact, et non la seule rotation, qui permet d’affirmer un roulement sans glissement.
Pour contrôler un déplacement, comparez la translation du centre à la circonférence de la roue concernée. Si ces longueurs diffèrent après un tour, remplacez le modèle de roulement pur par un mouvement mêlant rotation et glissement.
Dans un dessin géométrique, une tangence apparente à une droite ne suffit pas à créer un contact mécanique. Vérifiez quelles pièces sont matérielles et quelles lignes servent seulement à comparer des positions.
À ne pas confondre
Rotation et roulement sans glissement. Une roue peut tourner tout en glissant. Le critère décisif est la vitesse du point de contact : elle est nulle par rapport au support seulement dans un roulement sans glissement. Ici, ce critère vaut pour la grande roue, pas pour la petite.
Bijection et conservation des longueurs. Une bijection associe chaque point d’un cercle à un unique point de l’autre. Une isométrie conserverait en plus les distances. La projection radiale entre les deux cercles est bijective, mais elle multiplie les longueurs d’arcs par le rapport des rayons.
Limites et pièges
Rayons égaux. Quand R = r, les deux cercles se confondent. Le décalage 2π(R − r) devient nul : ce cas charnière ne produit aucune contradiction apparente.
Droite parallèle prise pour un rail. dans la représentation classique, la droite associée au petit cercle sert à comparer les positions. Si on en fait un véritable rail fixe et qu’on exige l’adhérence aux deux contacts, le mécanisme se bloque ou l’un des contacts glisse lorsque les rayons diffèrent.
Comptage des points. Deux arcs peuvent être mis en bijection tout en ayant des longueurs différentes. Pour comparer leurs circonférences, il faut une mesure de longueur ; compter les points d’ensembles continus ne fournit pas cette mesure.
Pour aller plus loin
La cycloïde décrit la trajectoire d’un point d’une roue qui roule sans glissement et prolonge naturellement l’étude du mouvement en jeu.
La notion de bijection précise ce que signifie associer les points des deux cercles sans en déduire l’égalité de leurs longueurs.
L’entrée sur l’infini éclaire pourquoi deux ensembles continus de même puissance peuvent porter des mesures géométriques différentes.
L’article Les débuts de la cycloïde replace dans son histoire l’étude de la courbe suscitée par les roues en mouvement.
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