lampion de Schwarz

Imaginez un cylindre recouvert d'un treillis de petits triangles. En resserrant ce treillis, ses sommets et ses arêtes semblent épouser de mieux en mieux la surface courbe. Pourtant, l'aire totale des triangles peut rester différente de celle du cylindre, voire augmenter sans limite.

Le lampion de Schwarz rend visible cette surprise du passage à la limite. La forme se rapproche bien du cylindre, mais l'aire dépend aussi de la manière dont les triangles deviennent petits.

Un lampion de Schwarz, ou polyèdre de Schwarz, est une surface polyédrique inscrite dans une construction régulière autour d'un cylindre circulaire droit. Elle est composée de triangles isocèles dont les sommets sont répartis sur 2n génératrices et 2n³ cercles parallèles, où n désigne un entier positif qui règle simultanément le raffinement autour du cylindre et suivant sa hauteur.

Les génératrices sont les segments rectilignes parallèles à l'axe du cylindre ; les cercles parallèles découpent sa hauteur en couronnes. La grille régulière fournit les sommets, puis les triangles relient les points de couronnes voisines en alternant leur disposition. Quand n augmente, les facettes deviennent plus nombreuses et la surface polyédrique converge géométriquement vers la surface latérale du cylindre.

Cette convergence de la forme ne suffit pas à garantir la convergence de l'aire. Dans la construction de Schwarz, l'aire des triangles peut ne pas tendre vers l'aire latérale du cylindre et peut même diverger. Le lampion est donc un contre-exemple à l'idée qu'une approximation visuellement de plus en plus proche conserve automatiquement l'aire à la limite.

Considérons une construction avec n = 2. Les données sont les suivantes : le cylindre possède 2n = 4 génératrices et 2n³ = 16 cercles parallèles ; la surface obtenue est triangulée entre les couronnes voisines.

On remplace d'abord n par 2.
On calcule le nombre de génératrices : 2 × 2 = 4.
On calcule le nombre de cercles parallèles : 2 × 2³ = 2 × 8 = 16.
On obtient donc une grille cylindrique de 4 génératrices et de 16 cercles parallèles, sur laquelle les triangles isocèles sont construits.

Le contrôle consiste à refaire les deux calculs : 2 × 2 donne bien 4, et 2 × 2³ donne bien 16. Cet exemple fixe la grille ; il ne permet pas, à lui seul, de conclure que son aire égale celle du cylindre.

En géométrie, on utilise le lampion de Schwarz pour tester une intuition sur les surfaces et le passage à la limite. Le geste consiste à comparer séparément la proximité visuelle de la forme et l'évolution de l'aire calculée : il faut notamment contrôler l'inclinaison des triangles, car le nombre de cercles parallèles augmente comme 2n³ tandis que le nombre de génératrices vaut 2n. On peut commencer par la grille n = 2, puis refaire ce contrôle pour une valeur plus grande de n afin de voir si l'aire totale se stabilise, s'écarte ou augmente.

Dans un cours ou une démonstration, la construction sert de contre-exemple. Si l'objectif est seulement de représenter un cylindre, un maillage ordinaire ou une surface paramétrée est préférable, car il ne porte pas nécessairement le même paradoxe d'aire.

Un maillage polygonal de cylindre n'est pas automatiquement un lampion de Schwarz. Le critère qui tranche est la construction régulière en triangles isocèles sur 2n génératrices et 2n³ cercles parallèles, ainsi que l'étude de l'aire lors du raffinement. Un maillage peut seulement servir à l'affichage, sans porter cette propriété ni ce paradoxe.

Le polyèdre de Schwarz n'est pas non plus la surface latérale du cylindre. Le premier est polyédrique et composé de facettes planes ; la seconde est courbe. Leur proximité géométrique quand n augmente ne les rend pas identiques et ne suffit pas à identifier leurs aires.

Le piège principal apparaît quand n augmente. Le symptôme est une surface polyédrique qui converge vers le cylindre à l'œil, alors que son aire ne converge pas vers l'aire latérale ; elle peut même diverger. Il faut donc contrôler la grandeur étudiée au lieu d'inférer son comportement depuis la seule forme.

Le cas n = 2 donne 4 génératrices et 16 cercles parallèles, mais il ne représente pas encore une limite. Le bon réflexe est de comparer une suite de constructions quand n tend vers l'infini et de distinguer la convergence géométrique de la convergence des aires.

Une autre confusion consiste à parler d'une aire de surface courbe comme si elle se déduisait toujours par découpage visuel en facettes. Le lampion montre que le résultat dépend de la définition rigoureuse de l'aire et du procédé d'approximation retenu.

Le lampion de Schwarz ouvre sur une question plus générale : dans quelles conditions une suite de surfaces qui converge géométriquement conserve-t-elle une aire à la limite ? Pour poursuivre, il faut étudier la définition de l'aire d'une surface courbe, la régularité des approximations et la différence entre convergence d'ensembles et convergence de grandeurs.