Variations bornées (fonction à)

Imaginez que l'on suive une courbe de gauche à droite. Chaque montée et chaque descente compte positivement, même si deux mouvements opposés finissent par s'annuler. Une fonction est à variations bornées lorsque le total de tous ces changements reste sous une limite finie.

Le critère ne demande donc ni une courbe toujours croissante, ni une courbe sans saut. Il interdit surtout une accumulation illimitée d'oscillations.

Soit une fonction réelle f définie sur le segment [a, b]. Une subdivision P choisit des points ordonnés a = x₀ < x₁ < … < x_n = b, où n est le nombre de sous-intervalles. Pour cette subdivision, on additionne les valeurs absolues des changements de f entre deux points consécutifs. La variation totale, notée V de a à b de f, est la borne supérieure de ces sommes lorsque P parcourt toutes les subdivisions. Elle s'écrit :

La fonction f est dite à variations bornées lorsque cette variation totale est finie. L'ensemble de ces fonctions est souvent noté BV. Sur un segment, toute fonction monotone appartient à BV : sa variation totale est la valeur absolue de son changement entre les extrémités. Toute fonction lipschitzienne sur ce segment appartient aussi à BV. Une fonction de BV peut présenter des sauts. Elle est néanmoins dérivable presque partout et se décompose en différence de deux fonctions croissantes.

Cinq éléments organisent la notion. Le segment [a, b] fixe le domaine observé. La fonction f fournit une valeur en chaque point. Une subdivision range un nombre fini de points du segment, des deux extrémités incluses. Les changements successifs comparent les valeurs de f sur deux points voisins, et leur valeur absolue efface le sens montée ou descente. Enfin, la borne supérieure retient le plus grand total que tous les découpages peuvent approcher.

Les changements dépendent donc de la subdivision, tandis que la variation totale dépend de l'ensemble de toutes les subdivisions. Le tracé, sa couleur ou son échelle graphique ne définissent pas l'appartenance à BV. Le segment, les valeurs de f et le calcul par subdivisions suffisent à la décider.

Considérons sur [0, 4] la fonction affine par morceaux f dont le graphe relie les cinq points (0, 0), (1, 2), (2, 1), (3, 3) et (4, 2). Les abscisses sont ordonnées et les valeurs successives sont donc 0, 2, 1, 3 et 2. Le tracé polygonal rend visibles les quatre changements à additionner.

1. Entre 0 et 1, la valeur augmente de 2 ; sa contribution absolue vaut 2.

2. Entre 1 et 2, elle diminue de 1 ; cette descente contribue pour 1, et non pour −1.

3. Les deux derniers segments apportent respectivement 2 puis 1. Le calcul complet est le suivant :

Comme f est monotone sur chacun des quatre sous-intervalles, ajouter des points à la subdivision ne change pas ce total. La variation totale vaut donc exactement 6. Le contrôle consiste à refaire les quatre différences absolues : 2 + 1 + 2 + 1 = 6.

Pour une fonction affine par morceaux, on additionne les changements absolus entre sommets successifs. Si chaque morceau est monotone, les sommets contiennent toute l'information utile ; un échantillonnage plus fin est inutile.

Pour une fonction monotone sur un segment, on utilise directement l'écart absolu entre les valeurs aux extrémités. Cette voie est préférable au découpage lorsque le sens de variation est déjà établi.

Face à une courbe très oscillante, quelques points ne donnent qu'un total partiel. Il faut alors majorer les sommes pour toutes les subdivisions, ou prouver qu'une famille de subdivisions produit des sommes sans borne.

Variation nette. Elle conserve le signe et vaut f(b) − f(a), tandis que la variation totale additionne tous les changements absolus. Dans l'exemple, la variation nette vaut 2, mais la variation totale vaut 6.

Fonction monotone. Une fonction monotone garde un seul sens de variation, alors qu'une fonction de BV peut alterner montées et descentes. La fonction de l'exemple n'est pas monotone sur [0, 4], mais elle est à variations bornées.

Fonction lipschitzienne. Une telle fonction contrôle chaque changement par la distance horizontale. L'appartenance à BV n'impose pas ce contrôle point par point : une fonction en escalier avec un saut appartient à BV sans être lipschitzienne.

Intervalle non borné. Être lipschitzienne ne suffit plus à garantir une variation totale finie sur tout l'intervalle. La fonction f(x) = x est lipschitzienne sur ℝ, mais sa variation sur [−R, R] vaut 2R et croît sans borne ; il faut préciser le domaine.

Échantillonnage fini. Une somme calculée sur quelques points est seulement un minorant de la variation totale. Si de nouveaux points font apparaître des oscillations, il faut étudier toutes les subdivisions plutôt que conclure à partir du seul tracé observé.

Converse abusive. Une fonction de BV est dérivable presque partout, mais la dérivabilité presque partout ne garantit pas l'appartenance à BV. Le bon test reste la finitude de la variation totale.

Sauts. Une discontinuité ne suffit pas à exclure une fonction de BV. Il faut compter l'amplitude de chaque saut avec les autres changements et vérifier que leur total demeure fini.

La fiche Variation totale approfondit la grandeur dont la finitude caractérise les fonctions de BV.

La fiche Subdivision d'un segment détaille le découpage ordonné utilisé pour additionner les changements successifs.

La fiche Mesure signée ouvre vers un cadre d'analyse où les variations positives et négatives sont séparées.