AnalyseNotion · Glossaire
Subdivision d'un segment
Une subdivision d'un segment [a, b] est une suite finie a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b de points du segment. Le pas (ou finesse) de la subdivision est le maximum des longueurs des sous-intervalles [x_{i-1}, x_i]. Les subdivisions sont utilisées pour définir les intégrales de Riemann (comme limites de sommes de Riemann sur les subdivisions), et pour la définition de la variation bornée d'une fonction. On dit qu'une subdivision est plus fine qu'une autre si elle contient tous ses points.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les points et les sous-intervalles d’une subdivision.
- Calculer le pas comme maximum des longueurs consécutives.
- Vérifier qu’une subdivision est plus fine qu’une autre.
- Relier le découpage aux sommes de Riemann et à la variation bornée.
En clair
Tracez le segment qui va de 0 à 6, puis marquez 1 et 3. Ces quatre repères découpent le trajet en trois morceaux de longueurs 1, 2 et 3. La liste ordonnée 0, 1, 3, 6 forme une subdivision du segment.
Son pas est la longueur du plus grand morceau, ici 3. Ajouter un repère donne une subdivision plus fine si tous les anciens repères sont conservés. Le découpage permet ainsi d’observer ou d’approcher une fonction morceau par morceau.
Définition
Soient deux nombres réels a et b avec a < b. Une subdivision P du segment [a, b] est une liste finie de points ordonnés. Le premier point est a, le dernier est b et chaque point intérieur est strictement supérieur au précédent : . Les points consécutifs déterminent n sous-intervalles [xi−1, xi].
Le pas, aussi appelé finesse, est la plus grande longueur de ces sous-intervalles. En notant h(P) ce pas, on écrit . Le pas décrit donc le morceau le moins fin du découpage ; il ne donne ni le nombre de morceaux ni leur longueur moyenne.
Une subdivision Q est plus fine que P lorsque tous les points de P appartiennent aussi à Q. Elle peut ajouter des points, sans en déplacer ni en retirer. Cette relation sert à comparer des sommes de Riemann et à faire tendre leur pas vers zéro. Les mêmes listes de points interviennent dans les sommes de variations d’une fonction sur [a, b].
Un exemple, pas à pas
Considérons le segment [0, 6]. Les données sont les quatre points ordonnés 0, 1, 3 et 6. Ils forment la subdivision P = (0, 1, 3, 6).
1. Les trois sous-intervalles sont [0, 1], [1, 3] et [3, 6].
2. Leurs longueurs sont respectivement 1 − 0 = 1, 3 − 1 = 2 et 6 − 3 = 3.
3. Le maximum de ces longueurs vaut 3 ; ainsi, h(P) = 3.
4. Ajoutons le point 4,5. La liste Q = (0, 1, 3, 4,5, 6) conserve tous les points de P : Q est plus fine que P.
5. Les nouvelles longueurs sont 1, 2, 1,5 et 1,5. Leur maximum vaut 2 ; ainsi, h(Q) = 2.
2. Leurs longueurs sont respectivement 1 − 0 = 1, 3 − 1 = 2 et 6 − 3 = 3.
3. Le maximum de ces longueurs vaut 3 ; ainsi, h(P) = 3.
4. Ajoutons le point 4,5. La liste Q = (0, 1, 3, 4,5, 6) conserve tous les points de P : Q est plus fine que P.
5. Les nouvelles longueurs sont 1, 2, 1,5 et 1,5. Leur maximum vaut 2 ; ainsi, h(Q) = 2.
Le résultat est un raffinement qui fait passer le pas de 3 à 2. Le schéma matérialise les deux découpages et permet de comparer leurs plus grands sous-intervalles.
Le contrôle est direct : les points 0, 1, 3 et 6 figurent encore dans Q, et la somme des nouvelles longueurs vaut 1 + 2 + 1,5 + 1,5 = 6, soit la longueur totale du segment.
En pratique
Pour construire une somme de Riemann, on choisit un point d’évaluation dans chaque sous-intervalle, puis on additionne les aires signées des rectangles correspondants. Quand la fonction varie régulièrement, une subdivision à intervalles égaux est commode.
Si la fonction change davantage dans une zone, on peut y ajouter des points et conserver des intervalles plus larges ailleurs. Ce raffinement local est préférable à un découpage uniforme lorsque le comportement observé n’a pas la même finesse sur tout le segment.
Pour étudier la variation d’une fonction, on additionne les écarts absolus entre ses valeurs en deux points consécutifs. Une seule subdivision fournit une somme ; la variation totale demande de considérer toutes les subdivisions possibles.
À ne pas confondre
Subdivision et partage en parts égales. Une subdivision impose seulement un ordre strict des points, pas des intervalles de même longueur. Sur [0, 6], les points 0, 1, 3 et 6 donnent des longueurs 1, 2 et 3 : c’est bien une subdivision, mais pas un partage régulier.
Points de subdivision et sous-intervalles. La subdivision est la liste des points ; les sous-intervalles sont les morceaux fermés déterminés par deux points consécutifs. Ainsi, P = (0, 1, 3, 6) contient quatre points et engendre trois sous-intervalles.
Subdivision d’un segment et partition d’un ensemble. Une partition d’ensemble est une famille de parties disjointes dont l’union redonne l’ensemble. Les sous-intervalles fermés [0, 1] et [1, 3] se rencontrent en 1 ; ils ne sont donc pas disjoints, alors qu’ils proviennent d’une subdivision valide.
Limites et pièges
Segment réduit à un point. Si a = b, aucune chaîne contenant au moins un sous-intervalle ne peut vérifier a = x0 < … < xn = b. Il faut annoncer séparément une convention dégénérée avec n = 0 ; la définition source ne la fixe pas.
Raffinement non strict. Dire que Q est plus fine que P autorise Q = P, puisque Q contient alors tous les points de P. Si un point nouveau est requis, il faut parler de raffinement strict et vérifier que Q possède au moins un point supplémentaire.
Pas inchangé après un ajout. Ajouter un point ne fait jamais augmenter le pas, mais ne le diminue pas toujours. Dans P = (0, 1, 3, 6), ajouter 0,5 coupe un intervalle de longueur 1 tandis que [3, 6] reste de longueur 3 : le pas demeure 3.
Découpage infini. Une famille infinie, même ordonnée ou dense dans [a, b], n’est pas une subdivision au sens donné ici. Pour appliquer la définition, il faut revenir à une liste finie comprenant les deux extrémités.
Pour aller plus loin
Deux subdivisions d’un même segment admettent toujours un raffinement commun : il suffit de réunir leurs ensembles finis de points, puis de les ranger dans l’ordre croissant. Cette construction permet de comparer deux découpages sur une base commune. Elle prépare l’étude des limites de sommes de Riemann et du supremum des sommes de variations, sans imposer que les intervalles aient tous la même longueur.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres