AnalyseNotion · Glossaire
Pas d'une subdivision
Le pas d'une subdivision d'un intervalle est la longueur maximale des sous-intervalles qui la composent. Si l'on subdivise l'intervalle [a, b] en n sous-intervalles par les points a = x₀ < x₁ < ... < xₙ = b, le pas est le maximum de (xᵢ₊₁ - xᵢ) pour i allant de 0 à n - 1. Lorsque le pas tend vers zéro, la subdivision devient de plus en plus fine. Cette notion est centrale dans la définition de l'intégrale de Riemann et dans l'analyse numérique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le pas comme la longueur maximale des sous-intervalles.
- Calculer le pas sur une subdivision non uniforme.
- Interpréter correctement une suite de pas qui tend vers zéro.
- Distinguer le pas du nombre de morceaux et du raffinement.
En clair
Imaginez l’intervalle allant de 0 à 5, découpé aux points 0, 1, 3 et 5. Les trois morceaux ont pour longueurs 1, 2 et 2. Le pas du découpage est la longueur du plus grand morceau : ici, il vaut 2.
Ce nombre indique la finesse la moins favorable du découpage. Pour rendre tout le découpage fin, il faut donc raccourcir ses plus grands morceaux, et pas seulement ajouter des points ailleurs.
Définition
Une subdivision d’un intervalle fermé [a, b], avec a < b, est une suite finie strictement croissante de points. Le premier point est a, le dernier est b, et les points intermédiaires découpent l’intervalle en sous-intervalles. Si n désigne leur nombre, les points sont notés x0, x1, …, xn, avec x0 = a et xn = b.
La longueur du sous-intervalle d’indice i est xi+1 − xi. Si P désigne la subdivision, son pas, aussi appelé maille selon les conventions, est le maximum de ces longueurs :
Pour une suite de subdivisions, dire que le pas tend vers zéro signifie que la longueur de chacun des sous-intervalles est finalement aussi petite qu’on le souhaite. C’est cette condition de finesse globale qui intervient dans la définition de l’intégrale de Riemann et dans des approximations d’analyse numérique.
Un exemple, pas à pas
On considère l’intervalle [0, 5]. Les points de subdivision sont 0, 1, 3 et 5, dans cet ordre. Ils forment trois sous-intervalles.
1. Calculez la première longueur : 1 − 0 = 1.
2. Calculez les deux suivantes : 3 − 1 = 2, puis 5 − 3 = 2.
3. Comparez les trois résultats. Leur maximum est 2 : le pas de cette subdivision vaut donc 2.
Le contrôle consiste à vérifier deux faits : les longueurs 1 + 2 + 2 redonnent bien la longueur totale 5, et aucun morceau ne dépasse 2. La figure matérialise ce contrôle en montrant les trois longueurs et les deux morceaux maximaux.
En pratique
Dans une somme de Riemann, on calcule d’abord la longueur de chaque sous-intervalle, puis on relève la plus grande. Si l’on veut améliorer le contrôle global du découpage, on partage en priorité les morceaux qui atteignent ce maximum.
En calcul numérique, un découpage uniforme convient lorsque la même résolution est utile partout. Un découpage non uniforme est préférable lorsqu’une zone demande davantage de finesse ; son pas reste toutefois déterminé par le morceau le plus long.
Pour comparer deux découpages d’un même intervalle, on compare leurs pas. Dans le découpage dont le pas est le plus petit, tous les morceaux sont au plus aussi longs que cette valeur ; cela ne borne pas les morceaux de l’autre découpage et ne décrit pas leur répartition exacte.
À ne pas confondre
Le pas et le nombre de sous-intervalles. Le nombre n compte les morceaux ; le pas mesure la longueur du plus grand. Sur [0, 5], trois morceaux de longueurs 1, 2 et 2 donnent n = 3 et un pas égal à 2.
Le pas et une longueur commune. Dans une subdivision uniforme, tous les morceaux ont la même longueur, qui est aussi le pas. Dans l’exemple 1, 2, 2, aucune longueur commune n’existe : seul le maximum 2 définit le pas.
Le pas et le raffinement. Un raffinement conserve tous les anciens points et en ajoute éventuellement. Un pas plus petit ne suffit pas à prouver cette relation : deux subdivisions peuvent avoir des points différents sans que l’une contienne l’autre.
Limites et pièges
Ajouter un point ne réduit pas toujours le pas. Dans la subdivision 0, 1, 3, 5, ajouter un point entre 0 et 1 laisse intact un morceau de longueur 2. Le symptôme est un maximum inchangé ; il faut partager chacun des morceaux qui réalisent ce maximum pour être certain de le diminuer.
Faire croître le nombre de morceaux ne suffit pas. Une suite peut accumuler des points dans une petite zone tout en conservant ailleurs un sous-intervalle de longueur 2. Pour conclure à une finesse croissante, il faut vérifier que le maximum des longueurs tend vers 0.
L’intervalle réduit à un point demande une convention distincte. Si a = b, la suite réduite au seul point a ne détermine aucun sous-intervalle de longueur positive. Il faut traiter ce cas dégénéré séparément, au lieu d’appliquer directement le maximum sur des sous-intervalles inexistants.
Un pas petit ne décrit pas tout le découpage. Il borne chaque longueur par le haut, mais ne donne ni le nombre de morceaux ni leur emplacement. Il faut conserver la liste des points lorsque leur répartition compte dans le calcul.
Pour aller plus loin
Subdivision d'un segment — Revenir à la construction des points et des sous-segments sur lesquels le pas est calculé.
L'émergence des fonctions discontinues — Situer le contexte historique dans lequel l’intégration de Riemann répond à de nouvelles fonctions.
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