méthode des rectangles

Imaginez l'aire située sous une courbe entre deux repères. Au lieu d'en suivre exactement le bord arrondi, découpez la largeur en bandes et posez un rectangle dans chaque bande. Sa hauteur est lue sur la courbe à gauche, à droite ou au milieu de la bande.

La somme des aires rectangulaires donne une approximation de l'intégrale. Des bandes plus étroites épousent généralement mieux la courbe. Le choix du point milieu équilibre souvent mieux les dépassements et les manques.

La méthode des rectangles approche l'intégrale d'une fonction f sur un intervalle fermé allant de a à b. On partage cet intervalle en n sous-intervalles de même largeur, appelée pas et notée h. Cette largeur vaut $h=\frac{b-a}{n}h=\backslash frac\{b-a\}\{n\}$. Dans chaque sous-intervalle, la courbe est remplacée par une hauteur constante.

Pour le sous-intervalle d'indice k, le point choisi est noté ξ_k. L'approximation, notée R_n, est la somme des largeurs multipliées par les hauteurs : $R_n=h{\sum }_{k=0}^{n-1}f({\xi }_k)R\_n=h\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}f(\backslash xi\_k)$. La variante gauche prend ξ_k = a + kh ; la variante droite prend ξ_k = a + (k + 1)h ; la variante du point milieu prend ξ_k = a + (k + 1/2)h.

Lorsque la fonction est suffisamment régulière, l'approximation se rapproche de l'intégrale quand h tend vers zéro. Les variantes gauche et droite ont en général une erreur globale proportionnelle à h. Avec une dérivée seconde continue et bornée, la variante du point milieu a une erreur globale proportionnelle à h², ce qui explique sa meilleure précision habituelle.

Pour approcher l'intégrale de f entre a et b, choisissez un entier n au moins égal à 1, puis calculez le pas h = (b − a)/n. Découpez l'intervalle en n bandes. Dans chaque bande d'indice k, relevez f à l'extrémité gauche, à l'extrémité droite ou au point milieu, selon la variante retenue. Multipliez chaque hauteur par h et additionnez les n aires. Le résultat R_n est l'approximation cherchée ; augmentez n pour réduire le pas et contrôler sa stabilisation.

La méthode s'applique à une intégrale définie sur un intervalle fini [a, b]. Il faut pouvoir évaluer la fonction aux points choisis, fixer un nombre entier n ≥ 1 de sous-intervalles et conserver la même règle de choix dans toutes les bandes. Pour garantir la convergence habituelle, il suffit que la fonction soit intégrable au sens de Riemann sur [a, b] ; la continuité sur cet intervalle est une condition suffisante courante.

Une singularité non bornée à une extrémité bloque par exemple la variante qui évalue précisément cette extrémité. Pour une intégrale impropre, il faut d'abord isoler la singularité et traiter une limite, ou employer une méthode numérique adaptée, plutôt que d'appliquer directement la règle des rectangles sur tout l'intervalle.

Approchons l'intégrale de la fonction f définie par f(x) = x² entre 0 et 2 avec quatre rectangles au point milieu. Les données sont a = 0, b = 2 et n = 4. Le pas vaut donc h = (2 − 0)/4 = 1/2.

1. Les quatre milieux sont 1/4, 3/4, 5/4 et 7/4.

2. Les hauteurs correspondantes sont 1/16, 9/16, 25/16 et 49/16. Le dessin superpose à la courbe les quatre rectangles construits avec ces hauteurs.

3. La somme des aires vaut : $R_4=\frac{1}{2}(\frac{1}{16}+\frac{9}{16}+\frac{25}{16}+\frac{49}{16})=\frac{21}{8}=\mathrm{2,625}R\_4=\backslash frac12\backslash left(\backslash frac1\{16\}+\backslash frac9\{16\}+\backslash frac\{25\}\{16\}+\backslash frac\{49\}\{16\}\backslash right)=\backslash frac\{21\}\{8\}=2\{,\}625$.

4. L'intégrale exacte vaut ${\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{8}{3}\approx \mathrm{2,667}\backslash int\_0^2\; x^2\backslash ,dx=\backslash frac83\backslash approx2\{,\}667$. L'écart absolu est donc 1/24, soit environ 0,0417. Pour contrôler le calcul, les quatre numérateurs 1 + 9 + 25 + 49 donnent bien 84, puis (1/2) × (84/16) = 21/8.

Pour un calcul à la main, la variante gauche ou droite est pratique lorsque les valeurs aux bornes du découpage sont déjà connues. Sur une fonction croissante, comparez les deux résultats : la somme gauche est inférieure à l'intégrale et la somme droite lui est supérieure.

Pour obtenir davantage de précision avec le même nombre de bandes, choisissez le point milieu lorsque la fonction est régulière. Dans l'exemple de x² sur [0, 2], quatre rectangles donnent 21/8, très proche de la valeur exacte 8/3.

Dans un programme, recommencez le calcul en doublant n. Si les résultats successifs ne se stabilisent pas au nombre de décimales souhaité, réduisez encore le pas ou utilisez une règle d'ordre supérieur, comme la méthode des trapèzes.

Méthode des rectangles et méthode des trapèzes. Un rectangle garde une hauteur constante sur chaque bande ; un trapèze relie les deux valeurs aux extrémités par un segment. Pour f(x) = x² entre 0 et 1 avec une seule bande, la règle du milieu donne 1/4, tandis que la règle du trapèze donne 1/2.

Méthode des rectangles et somme de Riemann. Une somme de Riemann autorise un point d'échantillonnage quelconque dans chaque sous-intervalle, éventuellement de largeurs différentes. La méthode des rectangles gauche, droite ou milieu fixe au contraire une règle d'échantillonnage précise ; elle constitue donc un cas particulier de somme de Riemann.

Un seul rectangle. Le seuil n = 1 produit une approximation valide, mais une seule valeur représente toute la courbe. Dans l'exemple sur [0, 2], le rectangle au milieu donne 2, contre 8/3 exactement. Il faut augmenter n et observer la stabilisation.

Sens du biais. Pour une fonction croissante, les rectangles gauches sous-estiment l'intégrale et les rectangles droits la surestiment. Cette conclusion s'inverse pour une fonction décroissante et ne donne plus un encadrement simple si la fonction change de sens de variation. Il faut alors découper selon les zones monotones ou comparer plusieurs variantes.

Précision du point milieu. L'erreur proportionnelle à h² suppose notamment une dérivée seconde continue et bornée. Un angle, une discontinuité ou des oscillations rapides peuvent dégrader ce comportement. Dans ce cas, raffinez localement le découpage et contrôlez numériquement l'écart entre deux pas successifs.

Aires signées. Si la fonction passe sous l'axe horizontal, les rectangles concernés ont une hauteur négative. La somme approche alors l'intégrale signée, pas l'aire géométrique totale. Pour obtenir cette aire, il faut intégrer la valeur absolue ou séparer les intervalles aux changements de signe.

méthode des trapèzes — Comparer une approximation affine par bande à l'approximation constante des rectangles.

fonction en escalier — Relier les rectangles à une fonction constante par morceaux dont l'intégrale se calcule exactement.