Préserve la mesure

Imaginons quatre positions portant chacune un quart de la probabilité totale. À chaque étape, une flèche fait passer de 0 à 1, de 1 à 2, de 2 à 3, puis de 3 à 0. Les positions occupées changent, mais aucun groupe de positions ne gagne ni ne perd de poids quand on remonte à ses antécédents.

C'est le sens de « préserver la mesure » : l'évolution réorganise les états sans modifier leur probabilité.

Considérons un premier espace de probabilité formé d'un ensemble X, d'une famille 𝒜 d'ensembles mesurables et d'une probabilité μ. Considérons aussi un second espace formé d'un ensemble Y, d'une famille ℬ et d'une probabilité ν. Une application T de X vers Y est mesure-préservante si elle est mesurable et si, pour tout ensemble B de ℬ, elle vérifie :

L'ensemble T⁻¹(B) rassemble les points de X dont l'image appartient à B. Lorsque X et Y sont le même espace et que μ = ν, la condition devient μ(T⁻¹(B)) = μ(B) : la probabilité μ est alors invariante sous l'évolution T. Le vocabulaire « préservant la mesure », « mesure-préservante » ou « qui préserve la mesure » exprime cette même propriété. La condition porte sur tous les ensembles mesurables, pas seulement sur quelques cas choisis.

On rencontre cette propriété lorsqu'un système évolue par étapes tout en étant décrit par des probabilités. Quatre marqueurs permettent de reconnaître le cadre : un ensemble d'états possibles, des groupes d'états déclarés mesurables, une probabilité attribuée à ces groupes et une règle T qui fait évoluer chaque état.

Le support porte donc deux informations distinctes : quels événements peuvent être mesurés et quel poids chacun reçoit. En théorie ergodique, on répète T afin d'étudier le comportement à long terme sans que la probabilité globale soit déformée par l'évolution.

La grandeur à comparer est la probabilité d'un événement B avec celle de son image réciproque par T. La convention décisive est de remonter l'évolution : T⁻¹(B) désigne les états de départ qui arrivent dans B, et non une application inverse supposée exister.

1. Préciser les espaces, leurs ensembles mesurables et leurs probabilités.
2. Choisir un événement mesurable B dans l'espace d'arrivée.
3. Déterminer tous ses antécédents T⁻¹(B).
4. Comparer μ(T⁻¹(B)) à ν(B), puis établir l'égalité pour tout B afin de conclure.

Un dessin peut donner l'impression que la taille géométrique de B doit rester identique. Ce n'est pas le bon test : seule compte la mesure choisie. Le réflexe sûr consiste à calculer l'image réciproque et sa mesure.

Prenons les quatre états 0, 1, 2 et 3, chacun de probabilité 1/4. La transformation T envoie 0 sur 1, 1 sur 2, 2 sur 3 et 3 sur 0. On teste l'événement B = {0, 1}.

1. Les états qui arrivent dans B sont 3, qui arrive en 0, et 0, qui arrive en 1.
2. Ainsi, T⁻¹(B) = {3, 0}.
3. Sa probabilité vaut 1/4 + 1/4 = 1/2.
4. La probabilité de B vaut aussi 1/4 + 1/4 = 1/2. L'égalité est vérifiée pour cet événement.

Le contrôle se généralise : T permute les quatre états, donc l'image réciproque de tout sous-ensemble contient exactement autant d'états que lui. Avec des poids tous égaux à 1/4, sa probabilité reste identique. La transformation préserve donc la mesure. Le cycle représenté dans la figure rend également visible le retour de chaque état après quatre étapes.

Pour valider un modèle dynamique probabilisé, on cherche si la règle d'évolution conserve la probabilité des événements. Si les mesures des images réciproques changent, il faut chercher si une autre mesure convient ou renoncer à l'hypothèse de conservation.

En théorie ergodique, la conservation fournit le cadre pour comparer les observations le long d'une trajectoire au comportement global du système. Si l'on veut en plus exclure une décomposition en régions invariantes de poids intermédiaire, la propriété recherchée est l'ergodicité.

Pour étudier les retours, on choisit un événement de probabilité positive et l'on suit ses visites successives sous T. Dans un espace de probabilité préservé, le théorème de récurrence de Poincaré permet un énoncé presque sûr ; il ne promet pas le retour de chaque point sans exception.

Application mesurable et application mesure-préservante. La mesurabilité garantit que T⁻¹(B) peut être mesuré. Elle n'impose pas que sa mesure égale celle de B. L'égalité pour tout événement mesurable est la condition supplémentaire qui tranche.

Mesure invariante et transformation qui la préserve. L'invariance qualifie une mesure relativement à une transformation donnée ; la préservation qualifie cette transformation relativement à la mesure. Dans les deux formulations, on vérifie la même égalité sur les images réciproques.

Préservation et ergodicité. Une transformation peut préserver la mesure tout en laissant subsister une région invariante de probabilité strictement comprise entre 0 et 1. L'ergodicité écarte ce cas : les ensembles invariants ont alors une probabilité nulle ou égale à 1.

Tester quelques événements ne suffit pas toujours. Dans l'exemple à quatre états, tous les sous-ensembles sont contrôlés grâce à l'argument de permutation. Sans argument général, une égalité observée sur un seul B ne prouve pas la préservation.

Image et image réciproque ne jouent pas le même rôle. Le critère demande μ(T⁻¹(B)), même lorsque T n'admet pas d'application inverse. Remplacer ce préimage par T(B) change la propriété et peut rendre le test faux.

« Presque sûrement » tolère un ensemble exceptionnel. Le retour de Poincaré concerne presque tous les points d'un ensemble de probabilité positive, non chacun d'eux. Un ensemble de points sans retour peut subsister s'il a une probabilité nulle.

Le retour exige le cadre de mesure approprié. La formulation donnée ici se place dans un espace de probabilité, donc de mesure totale finie. On ne doit pas transférer sans condition la même conclusion à un espace de mesure infinie.

système dynamique. Cette notion situe la règle d'évolution T et ses itérations dans le cadre général des états qui changent au cours du temps.

Ergodique. Ce prolongement précise la condition qui empêche un système mesure-préservant de se décomposer en régions invariantes de probabilité intermédiaire.