Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Ergodique
Un système dynamique est dit ergodique si tout sous-ensemble invariant a une mesure égale à 0 ou 1 : autrement dit, il est négligeable ou égal à l'espace total modulo un ensemble de mesure nulle. Pour un système ergodique, le théorème ergodique de Birkhoff affirme que les moyennes temporelles d'une fonction intégrable le long des orbites coïncident presque sûrement avec la moyenne spatiale par rapport à la mesure invariante. L'ergodicité traduit l'idée que le système explore uniformément l'espace des phases à long terme et est à la base de la thermodynamique statistique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir l'ergodicité par les ensembles invariants de mesure 0 ou 1.
- Relier une moyenne le long d'une orbite à une moyenne sur l'espace.
- Vérifier cette relation sur un cycle fini de six états.
- Distinguer ergodicité, mélange et transitivité.
En clair
Imaginez un pion qui avance sans fin sur six cases disposées en cercle. En partant de n'importe quelle case, il finit par visiter chacune d'elles aussi souvent que les autres. Aucun groupe de cases, hormis le cercle entier, ne peut retenir sa trajectoire.
Cette impossibilité de rester enfermé dans une région observable caractérise l'ergodicité. Sur une longue durée, la fréquence des visites renseigne alors sur la répartition de probabilité du système.
Définition
On considère un espace de probabilité, une transformation mesurable de cet espace dans lui-même et une mesure de probabilité, notée , préservée par la transformation. Un ensemble est invariant lorsque son image réciproque coïncide avec lui, à un ensemble de mesure nulle près. Le système est ergodique si tout ensemble invariant a une mesure égale à 0 ou à 1. Autrement dit, aucune partie de probabilité intermédiaire ne constitue un monde dynamique séparé.
Soit une fonction intégrable qui associe une observation numérique à chaque état. On note x l'état initial et k le nombre d'itérations ; l'état atteint est . Enfin, n désigne le nombre d'observations moyennées. Le théorème ergodique de Birkhoff donne alors, pour presque tout état initial :
La limite de gauche est une moyenne au cours du temps. L'intégrale de droite est la moyenne sur tout l'espace selon la mesure invariante. La conclusion vaut presque sûrement : un ensemble exceptionnel d'états initiaux de mesure nulle peut subsister.
Un exemple, pas à pas
Un pion occupe l'un des six états numérotés de 0 à 5. À chaque tour, il passe à l'état suivant, et l'état 5 est suivi de l'état 0. Les six états ont chacun la probabilité 1/6. On observe l'ensemble formé par les états 0 et 1.
1. En partant de 0, une période complète est 0, 1, 2, 3, 4, 5.
2. Pendant ces six tours, le pion appartient deux fois à l'ensemble observé.
3. Sa moyenne temporelle sur une période vaut donc 2/6 = 1/3.
4. La mesure de l'ensemble vaut aussi 1/6 + 1/6 = 1/3.
2. Pendant ces six tours, le pion appartient deux fois à l'ensemble observé.
3. Sa moyenne temporelle sur une période vaut donc 2/6 = 1/3.
4. La mesure de l'ensemble vaut aussi 1/6 + 1/6 = 1/3.
Toute trajectoire parcourt le même cycle, quel que soit son point de départ. La fréquence temporelle 1/3 coïncide donc exactement avec la mesure 1/3. Le schéma du cycle rend visibles les deux visites comptées pendant chaque tour complet.
Pour contrôler le résultat, on peut partir de l'état 4 : la période 4, 5, 0, 1, 2, 3 contient encore exactement deux états observés sur six.
En pratique
En physique statistique, une grandeur est suivie au cours du temps sur une trajectoire. Lorsque le modèle est ergodique, cette moyenne temporelle peut être reliée à la moyenne calculée sur l'ensemble des états avec la mesure invariante.
Dans une simulation, on peut estimer la proportion d'états possédant une propriété en suivant une seule trajectoire assez longue. Si plusieurs composantes invariantes sont visibles, il faut plutôt les étudier séparément, car une trajectoire ne passe pas de l'une à l'autre.
Pour une chaîne de Markov finie, la question pratique est de savoir si la dynamique peut rester prisonnière d'une classe fermée. En présence de plusieurs classes, une moyenne unique sur tout l'espace masque la dépendance au point de départ.
À ne pas confondre
Ergodique et mélangeant. Le mélange exige que les corrélations entre un état présent et un état lointain s'effacent. L'ergodicité exige seulement l'absence de partie invariante de mesure intermédiaire. La rotation cyclique sur six états est ergodique, mais elle n'est pas mélangeante : après six tours, elle revient exactement au même état.
Ergodique et transitif. La transitivité topologique affirme que des ouverts peuvent communiquer par la dynamique. L'ergodicité est une propriété mesurée et ignore les ensembles de mesure nulle. Sans hypothèses reliant la topologie à la mesure, l'une de ces propriétés ne suffit pas à conclure l'autre.
Limites et pièges
Invariant ne signifie pas forcément identique point par point. En théorie de la mesure, une différence limitée à un ensemble de mesure nulle ne change pas le critère. Il faut comparer les ensembles « presque partout », et non exiger une égalité stricte dans tous les modèles.
Une mesure invariante est indispensable. Si la transformation ne préserve pas la mesure choisie, la moyenne spatiale peut changer sous l'évolution. Il faut d'abord identifier une mesure préservée avant d'appliquer la formulation ergodique de Birkhoff.
Une durée finie ne prouve pas l'ergodicité. Des fréquences proches de la mesure pendant une simulation peuvent n'être qu'un effet transitoire. Le théorème porte sur une limite lorsque le nombre d'itérations tend vers l'infini.
« Explorer uniformément » est une intuition, pas toujours une répartition uniforme. Les visites se répartissent selon la mesure invariante, qui peut attribuer des poids différents aux régions. Il faut comparer les fréquences à cette mesure, pas à des parts géométriquement égales.
Pour aller plus loin
Le système dynamique fournit le cadre général : des états, une loi d'évolution et des orbites successives.
L'article Du problème des trois corps au chaos mathématique prolonge l'étude des trajectoires par un autre aspect des systèmes dynamiques : le chaos.
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