Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
convergence presque sûre
Soit (Xₙ)_{n≥1} une suite de variables aléatoires réelles et Y une variable aléatoire réelle, toutes définies sur un même espace de probabilité (Ω, ℱ, P). On dit que (Xₙ) converge presque sûrement vers Y si l'ensemble des trajectoires pour lesquelles la suite réelle (Xₙ(ω)) ne converge pas vers Y(ω) est de probabilité nulle : P({ω ∈ Ω : Xₙ(ω) → Y(ω)}) = 1. La convergence presque sûre est plus forte que la convergence en probabilité mais ne se compare pas simplement à la convergence en moyenne quadratique. La loi forte des grands nombres est l'exemple le plus célèbre de résultat établissant une convergence presque sûre.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la convergence presque sûre trajectoire par trajectoire.
- Vérifier sur Xₙ(ω) = ωⁿ qu’une exception de probabilité nulle n’empêche pas la convergence presque sûre.
- Distinguer la convergence presque sûre des convergences en probabilité et en moyenne quadratique.
- Reconnaître pourquoi une simulation finie ne suffit pas à établir ce mode de convergence.
En clair
Imaginez que l’on suive, résultat après résultat, une expérience aléatoire qui se prolonge indéfiniment. Chaque déroulement possible forme une trajectoire. La convergence presque sûre signifie que, pour presque toutes ces trajectoires, les valeurs finissent par se rapprocher d’une même valeur limite.
Le mot « presque » est décisif : quelques trajectoires peuvent échouer, mais leur ensemble doit avoir une probabilité nulle. Elles ne sont donc pas nécessairement impossibles ; elles sont négligeables au sens du modèle probabiliste.
Définition
Considérons une suite de variables aléatoires réelles, notées X1, X2, …, et une variable aléatoire réelle Y. Toutes sont définies sur le même espace de probabilité, formé d’un ensemble d’issues Ω, d’une tribu ℱ et d’une probabilité P. Une issue ω fixe une trajectoire réelle : X1(ω), X2(ω), …
La suite converge presque sûrement vers Y lorsque l’événement constitué des trajectoires convergeant vers Y(ω) a pour probabilité 1 :
L’ensemble exceptionnel peut être non vide ; il doit seulement avoir une probabilité nulle. On note aussi Xn → Y presque sûrement.
Cette convergence entraîne la convergence en probabilité. Elle n’est en revanche comparable dans aucun sens général à la convergence en moyenne quadratique. La loi forte des grands nombres est l’exemple classique : elle établit une convergence presque sûre de moyennes empiriques sous ses hypothèses.
Un exemple, pas à pas
On munit l’intervalle Ω = [0, 1] de la probabilité uniforme. Une issue ω est donc un nombre de cet intervalle. La variable limite Y vaut 0 partout.
1. La variable aléatoire U associe à chaque issue sa valeur, U(ω) = ω. Pour tout entier n ≥ 1, on pose .
2. Pour ω = 0,5, les quatre premières valeurs sont 0,5 ; 0,25 ; 0,125 ; 0,0625. Chaque terme est la moitié du précédent, donc la trajectoire tend vers 0.
3. Pour ω = 0,9, elles valent 0,9 ; 0,81 ; 0,729 ; 0,6561. La baisse est plus lente, mais 0,9n tend encore vers 0.
4. Pour ω = 1, tous les termes valent 1. Cette unique trajectoire ne converge pas vers Y(1) = 0.
L’ensemble d’échec est donc le singleton {1}, de probabilité uniforme nulle. Ainsi Xn converge presque sûrement vers 0, sans unité, bien que la convergence ne soit pas vraie pour toute issue. La comparaison des trois trajectoires rend visibles la vitesse variable et l’exception.
En pratique
Dans une suite d’expériences répétées, la loi forte des grands nombres fournit un résultat presque sûr pour certaines moyennes empiriques. On suit alors une trajectoire entière et l’on interprète sa stabilisation à long terme, plutôt qu’une garantie à un rang fini.
Pour analyser un modèle, on cherche d’abord l’ensemble des issues où la limite échoue, puis on calcule sa probabilité. Si seule la probabilité d’un écart supérieur à un seuil donné doit disparaître, la convergence en probabilité correspond directement à ce critère.
Une simulation permet d’observer des trajectoires et de repérer un comportement plausible. Elle ne prouve toutefois pas une convergence presque sûre : cette conclusion exige un argument portant sur l’ensemble des trajectoires, y compris celles que la simulation n’a pas produites.
À ne pas confondre
Convergence pour toute issue. Elle exige que Xn(ω) tende vers Y(ω) pour chaque ω. Dans l’exemple des puissances, l’issue ω = 1 suffit à faire échouer cette propriété, alors que la convergence presque sûre reste vraie.
Convergence en probabilité. Pour tout seuil ε strictement positif, elle demande que P(|Xn − Y| > ε) tende vers 0. La convergence presque sûre l’entraîne, mais la réciproque est fausse. Sur l’intervalle uniforme (0, 1), écrivons n = 2m + k, avec m ≥ 0 et 0 ≤ k < 2m, puis posons An = [k/2m, (k + 1)/2m) ∩ (0, 1). Définissons Xn(ω) = 1 si ω appartient à An, et 0 sinon. Comme P(An) = 2−m tend vers 0, Xn converge en probabilité vers 0. Mais chaque issue appartient à exactement un An par niveau m : Xn vaut donc 1 une infinité de fois et 0 une infinité de fois, si bien qu’elle ne converge pour aucune issue.
Convergence en moyenne quadratique. Elle se teste par E[(Xn − Y)2] → 0. Sur l’intervalle uniforme (0, 1), la variable Xn = √n sur (0, 1/n) et 0 ailleurs converge presque sûrement vers 0, mais E[Xn2] reste égal à 1. Inversement, pour les indicatrices dyadiques précédentes, E[Xn2] = P(An) = 2−m tend vers 0 : elles convergent donc en moyenne quadratique vers 0, alors que chaque issue appartient à une infinité de An et reste aussi hors d’une infinité d’entre eux, ce qui exclut la convergence presque sûre.
Limites et pièges
« Presque sûr » ne signifie pas « certain pour chaque issue ». Un événement de probabilité nulle peut contenir des issues. Il faut donc conserver l’ensemble exceptionnel dans le raisonnement au lieu de le déclarer impossible.
Un rang très grand ne suffit pas. Même si mille valeurs successives semblent stabilisées, une observation finie ne détermine pas la limite d’une trajectoire infinie. Il faut démontrer le comportement lorsque n tend vers l’infini.
La probabilité choisie compte. Le même ensemble exceptionnel peut être négligeable pour une probabilité et non pour une autre. Avant de conclure, il faut identifier l’espace de probabilité commun et vérifier que l’ensemble d’échec y a bien une probabilité égale à 0.
La vitesse n’est pas prescrite. Deux trajectoires peuvent toutes deux converger presque sûrement sans se rapprocher de leur limite au même rythme. La définition donne une limite trajectoire par trajectoire ; elle ne fournit ni vitesse uniforme ni seuil fini commun.
Pour aller plus loin
Convergence en probabilité — Étudier le mode de convergence toujours impliqué par la convergence presque sûre.
convergence en moyenne quadratique — Comparer le critère fondé sur l’espérance du carré de l’écart.
variable aléatoire — Revoir l’objet dont chaque issue détermine une valeur et une trajectoire.
Espace de probabilité — Préciser le rôle de Ω, de la tribu ℱ et de la probabilité P.
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