Discrète (variable aléatoire)

Lancez un dé et notez le nombre obtenu : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Les résultats possibles se présentent comme des points séparés que l'on peut énumérer. La variable qui enregistre le résultat est donc discrète.

Pour connaître sa loi, il suffit d'associer une probabilité à chaque valeur possible. La liste peut être finie, comme pour le dé, ou infinie à condition de rester dénombrable, comme 0, 1, 2, 3, …

Une variable aléatoire est dite discrète lorsque sa loi est concentrée, avec probabilité 1, sur un ensemble fini ou dénombrable. La variable est notée X. Les valeurs auxquelles elle attribue une probabilité strictement positive sont notées x₁, x₂, … ; l'indice k repère l'une d'elles, et p_k désigne la probabilité qui lui est attachée. La loi est entièrement déterminée par ces masses, dont la somme vaut 1 :

Pour un ensemble A de valeurs, la probabilité que la variable X appartienne à A s'obtient en additionnant les masses des valeurs concernées :
L'ensemble de valeurs peut être infini ; il doit alors pouvoir être mis en liste.

Le mot discret a aussi un sens en topologie. Dans une topologie discrète, tout sous-ensemble est ouvert ; l'espace est séparé et peut être métrisé par la distance discrète, égale à 0 entre un point et lui-même et à 1 entre deux points distincts. Les deux emplois évoquent des points isolés, mais ils définissent des objets différents.

Un dé équilibré à six faces est lancé une fois. La variable X désigne le nombre de points obtenu. Ses valeurs possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Chaque face a une probabilité égale à 1/6.

1. On associe à chacune des six valeurs la masse 1/6. Cette liste décrit toute la loi de X.

2. Le total des masses vaut $6\times \frac{1}{6}=16\backslash times\backslash frac\{1\}\{6\}=1$. La loi satisfait donc la condition de normalisation.

3. L'événement « X est pair » réunit les valeurs 2, 4 et 6. Sa probabilité est la somme de leurs trois masses :

4. Un contrôle direct consiste à compter les issues favorables : trois faces paires parmi six faces équiprobables donnent bien 3/6 = 1/2. Le diagramme de la loi rend visibles les six valeurs séparées et leurs masses égales.

Pour modéliser un comptage, on commence par lister les nombres possibles : nombre d'appels, de défauts ou de réussites. Si cette liste est finie ou dénombrable, une variable discrète convient ; une mesure pouvant varier sur tout un intervalle appelle plutôt un modèle continu.

Pour calculer la probabilité d'un événement de la forme « X appartient à A », on repère les valeurs de A, puis on additionne leurs masses. Dans l'exemple du dé, « obtenir un nombre pair » revient à réunir 2, 4 et 6.

Pour contrôler une loi proposée, on vérifie que chaque masse est positive ou nulle et que leur somme vaut 1. Si le total diffère de 1, la liste ne définit pas une loi de probabilité complète.

Variable aléatoire continue. Une variable discrète concentre toute sa probabilité sur une liste finie ou dénombrable de valeurs. Une variable continue peut prendre ses valeurs dans un intervalle et attribue généralement une probabilité nulle à chaque valeur isolée. Un résultat de dé tranche : il appartient à une liste de six valeurs.

Topologie discrète. Elle concerne les ouverts d'un espace : chaque sous-ensemble y est ouvert. Une variable aléatoire discrète concerne les valeurs portant la probabilité. Ainsi, le dé définit une loi discrète sans qu'il soit nécessaire de munir ses résultats d'une topologie.

Échantillon fini. Une série observée contient toujours un nombre fini de données, même si la variable qui l'a produite est continue. Six mesures arrondies ne suffisent donc pas à rendre la variable discrète ; il faut examiner le modèle des valeurs possibles.

Une infinité dénombrable reste discrète. Les valeurs 0, 1, 2, … peuvent être mises en liste. Il faut cependant attribuer des masses dont la somme vaut 1 : une même masse strictement positive répétée indéfiniment donnerait un total infini, donc pas une loi.

Le codomaine déclaré ne décide pas seul. Une variable peut être présentée comme réelle tout en ne prenant, avec probabilité 1, qu'un ensemble dénombrable de valeurs. On examine les valeurs effectivement porteuses de masse, pas seulement l'ensemble d'arrivée écrit dans sa définition.

Une loi mixte n'est pas entièrement discrète. La présence de quelques valeurs de probabilité positive ne suffit pas si une partie de la probabilité est aussi répartie continûment. Il faut alors décrire séparément la partie atomique et la partie continue.

Un arrondi ne change pas automatiquement le modèle. Une mesure affichée au dixième prend des valeurs visibles séparées, mais la grandeur modélisée peut rester continue. Il faut distinguer la précision de l'instrument de la nature probabiliste choisie.

Variable aléatoire — Pour replacer le cas discret dans la notion générale qui associe une valeur numérique à chaque issue.

Loi de probabilité continue — Pour étudier l'alternative adaptée aux valeurs réparties sur un intervalle.

Discrète (topologie) — Pour approfondir l'autre sens mathématique du mot, où chaque sous-ensemble est ouvert.