Négligeable (événement)
Dans un espace probabilisé, un événement A est négligeable lorsqu'il est de probabilité nulle. Une propriété est dite vraie presque sûrement si l'ensemble des issues où elle échoue est négligeable. Probabilité nulle ne signifie pas nécessairement impossibilité : dans un modèle continu, chaque valeur isolée peut avoir une probabilité nulle tout en appartenant à l'ensemble des résultats possibles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir un événement négligeable par P(A)=0.
- Comprendre presque sûrement.
- Vérifier le cas de X=0,5 sous une loi uniforme sur [0,1].
- Distinguer probabilité nulle, impossibilité et événement rare.
En clair
Imaginez une fléchette lancée au hasard sur une ligne graduée de 0 à 1. La probabilité qu'elle tombe exactement sur le repère 0,5 est nulle, même si ce repère appartient bien à la ligne et peut être atteint dans le modèle. L'événement « tomber sur 0,5 » est alors négligeable.
Négligeable signifie donc « de probabilité zéro », et non « impossible ». Une propriété est vraie presque sûrement lorsque les seules issues où elle échoue forment un événement négligeable.
Définition
Dans un espace probabilisé, soit A un événement, c'est-à-dire un ensemble mesurable d'issues, élément de la tribu, auquel le modèle associe une probabilité. A est dit négligeable lorsque sa probabilité vaut zéro : . Le terme décrit la mesure probabiliste de l'événement, pas son absence dans l'ensemble des résultats possibles.
Si une propriété échoue sur l'événement A et que A est négligeable, cette propriété est dite vraie presque sûrement. Cette expression autorise donc des exceptions, mais celles-ci ont une probabilité nulle dans le modèle considéré. Elle ne signifie pas que la propriété est vraie pour chaque issue.
La distinction dépend du modèle probabiliste. Dans un modèle continu, un événement réduit à une valeur isolée peut avoir une probabilité nulle tout en étant possible. Dans un modèle discret où chaque issue reçoit une probabilité strictement positive, un événement non vide ne peut pas être négligeable.
Un exemple, pas à pas
Considérons une variable aléatoire X choisie uniformément sur l'intervalle [0,1]. Nous étudions l'événement A : « X vaut exactement 0,5 ».
Données :
modèle : loi uniforme sur [0,1] ;
événement étudié : A = {X = 0,5} ;
longueur de l'intervalle : 1 ;
longueur de l'ensemble réduit au point 0,5 : 0.
modèle : loi uniforme sur [0,1] ;
événement étudié : A = {X = 0,5} ;
longueur de l'intervalle : 1 ;
longueur de l'ensemble réduit au point 0,5 : 0.
1. Dans une loi uniforme sur [0,1], la probabilité d'un intervalle est proportionnelle à sa longueur.
2. L'événement A ne contient qu'un point, dont la longueur est nulle.
3. Sa probabilité est donc .
4. On conclut que A est négligeable dans ce modèle.
2. L'événement A ne contient qu'un point, dont la longueur est nulle.
3. Sa probabilité est donc .
4. On conclut que A est négligeable dans ce modèle.
Le contrôle consiste à remplacer le point par un petit intervalle de longueur ε autour de 0,5 : sa probabilité vaut alors ε lorsqu'il reste dans [0,1], puis tend vers zéro quand ε tend vers zéro. Le point 0,5 reste pourtant une issue possible du modèle.
En pratique
Pour une grandeur modélisée par une loi continue, un calcul de probabilité peut attribuer zéro à une valeur exacte. On travaille alors avec des intervalles ou des tolérances pour décrire une mesure réellement observable, plutôt qu'avec un point isolé.
Dans une démonstration probabiliste, l'expression « presque sûrement » permet de regrouper les exceptions dans un événement négligeable. Il faut vérifier que l'espace probabilisé et la propriété considérée sont bien ceux annoncés avant d'employer cette expression.
Pour une expérience à issues discrètes, il faut additionner les probabilités des issues. Si chacune des issues possibles a une probabilité positive, l'événement non vide ne peut pas être traité comme négligeable ; une probabilité faible reste alors différente de zéro.
À ne pas confondre
Un événement impossible est l'événement vide : il ne contient aucune issue et sa probabilité vaut zéro. Un événement négligeable peut, lui, contenir des issues possibles, comme A = {X = 0,5} pour une loi uniforme sur [0,1]. Le test qui tranche est donc la présence d'issues dans l'ensemble, pas la seule valeur de P(A).
Un événement rare a une probabilité petite mais strictement positive, par exemple 0,001. Il n'est pas négligeable au sens exact. Pour trancher, il faut calculer la probabilité et vérifier si elle est égale à zéro, plutôt que se fier au mot « improbable ».
Limites et pièges
Le modèle commande le verdict. Une valeur isolée peut être négligeable dans une loi continue, alors qu'une issue isolée ayant une probabilité positive ne l'est pas dans un modèle discret. Le symptôme est un changement de loi ou d'espace sans changement du vocabulaire ; il faut recalculer P(A) dans le modèle réellement choisi.
Probabilité nulle n'est pas absence logique. L'événement A = {X = 0,5} a P(A)=0 dans l'exemple uniforme, mais 0,5 appartient à [0,1]. Si l'on cherche une impossibilité, il faut vérifier que l'événement est vide, et non constater seulement que sa probabilité est nulle.
Presque sûrement ne veut pas dire partout. Une propriété vraie presque sûrement peut échouer sur un événement négligeable. Pour conclure à une propriété vraie pour chaque issue, il faut établir séparément l'absence totale d'exception.
Pour aller plus loin
La notion de presque sûrement devient particulièrement utile lorsqu'une propriété est étudiée sur une suite d'expériences ou sur des fonctions aléatoires. Elle autorise des exceptions de probabilité nulle, à condition de conserver le même espace probabilisé et de préciser l'événement d'exception.
Un prolongement naturel consiste à comparer une probabilité nulle avec une mesure nulle : dans les deux cas, la taille attribuée à un ensemble peut être nulle sans que cet ensemble soit vide. La probabilité reste toutefois dépendante du modèle choisi ; cette analogie ne remplace pas sa définition.
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