AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Causale (fonction)
Une fonction est dite causale (ou causale au sens des signaux) si elle est nulle pour toutes les valeurs négatives de la variable (souvent le temps). Formellement, f est causale si f(t) = 0 pour t < 0. Cette notion est fondamentale en traitement du signal et en automatique, où elle traduit le fait qu'un système ne peut pas répondre avant d'avoir reçu son entrée. La transformée de Laplace est particulièrement adaptée à l'étude des fonctions causales et, lorsqu’elle existe, la convolution de deux fonctions causales est causale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une fonction causale en examinant ses valeurs pour t < 0.
- Comprendre pourquoi la valeur à t = 0 reste libre.
- Vérifier le critère sur une exponentielle retardée.
- Relier la notion à Heaviside, à la convolution et à la transformée de Laplace.
En clair
Imaginez un appareil que l’on met en marche à l’instant 0. La courbe qui décrit sa réponse reste sur zéro avant cet instant, puis elle peut évoluer à partir de 0. Une fonction ayant ce comportement est dite causale.
Le mot ne signifie pas que la fonction démontre une relation de cause à effet. Il indique seulement que son signal ne commence pas avant l’origine choisie.
Définition
Soit une fonction f dont la variable réelle t représente généralement le temps. La fonction f est causale, au sens des signaux, lorsqu’elle vérifie le critère suivant :
La condition porte uniquement sur les valeurs strictement négatives. La valeur f(0) est donc libre, tout comme les valeurs prises pour t > 0. Une fonction causale peut rester nulle après 0, présenter un saut à l’origine ou évoluer continûment. Le choix de l’origine fait partie du repère : un signal commençant à un instant t0 devient causal après le changement de variable qui place t0 en 0. En traitement du signal et en automatique, ce support limité aux temps non négatifs représente une réponse qui ne précède pas l’entrée.
De quoi c'est fait
Quatre éléments structurent une fonction causale. La variable réelle t ordonne les instants. L’origine 0 sépare le passé conventionnel des temps non négatifs. Le domaine doit contenir les valeurs auxquelles le critère est appliqué. Enfin, les valeurs de f sont imposées à zéro pour t < 0, mais restent libres à partir de l’origine.
Le verdict dépend donc à la fois des valeurs de f et du choix de l’origine. En revanche, la couleur ou l’échelle d’un tracé ne change rien à la causalité. Ces données suffisent à tester la fonction point par point et à tracer son support par rapport à 0.
Un exemple, pas à pas
Considérons un signal f défini sur les nombres réels. Ses données sont les suivantes : il vaut 0 lorsque le temps t est négatif, et il vaut e−t lorsque t est positif ou nul.
1. Pour t = −1, la première règle s’applique : f(−1) = 0.
2. À l’origine, la seconde règle donne f(0) = e0 = 1.
3. Pour t = 1, elle donne f(1) = e−1 ≈ 0,368.
4. Tous les temps strictement négatifs relèvent de la première règle, donc f(t) = 0 pour chacun d’eux.
2. À l’origine, la seconde règle donne f(0) = e0 = 1.
3. Pour t = 1, elle donne f(1) = e−1 ≈ 0,368.
4. Tous les temps strictement négatifs relèvent de la première règle, donc f(t) = 0 pour chacun d’eux.
Le signal est donc causal. Le contrôle est refaisable sans calculer toute la courbe : il suffit de vérifier la branche t < 0. La figure matérialise cette branche nulle, le saut à la valeur 1 en t = 0 et la décroissance exponentielle ensuite.
En pratique
En traitement du signal, on examine d’abord la partie située avant l’origine. Si elle est partout nulle, le signal est causal ; si une valeur non nulle apparaît, il faut le décrire comme non causal dans ce repère.
Dans le cadre des systèmes linéaires invariants dans le temps, une réponse impulsionnelle causale caractérise un système causal, dont la sortie ne précède pas l’excitation. Le critère observable reste le même : aucune réponse avant l’instant choisi comme origine.
Pour les calculs, la fonction de Heaviside sert souvent à écrire d’un seul tenant une fonction active à partir de 0. La transformée de Laplace est alors naturelle, tandis que, lorsqu’elle existe, la convolution de deux facteurs causaux est causale.
À ne pas confondre
Une fonction causale n’est pas une fonction constante nulle. La première doit seulement être nulle avant 0 : le signal de l’exemple vaut 1 à l’origine, donc il est causal sans être identiquement nul.
La causalité d’une fonction ne doit pas non plus être confondue avec la causalité d’un système. Pour une fonction, on inspecte directement ses valeurs avant 0. Pour un système, on demande si la sortie à un instant dépend seulement des entrées présentes ou passées ; sa réponse impulsionnelle fournit alors un critère dans le cadre usuel des systèmes linéaires invariants dans le temps.
Limites et pièges
À t = 0, rien n’impose la valeur zéro. Le critère utilise l’inégalité stricte t < 0. Rejeter le signal de l’exemple parce que f(0) = 1 serait donc une erreur.
L’origine est une convention de repérage. Un même tracé décalé horizontalement peut perdre ou gagner la propriété par rapport à 0. Il faut annoncer l’instant de référence avant de conclure.
Une vérification sur quelques temps négatifs ne suffit pas. Le signal doit être nul pour tout t < 0. Une seule valeur non nulle, même éloignée de l’origine, suffit à rendre la fonction non causale.
Le vocabulaire dépend du cadre. Ici, « causale » qualifie le support temporel d’une fonction. Il ne prouve pas à lui seul une causalité physique ou statistique entre deux phénomènes.
Pour aller plus loin
La fonction de Heaviside fournit une écriture compacte pour activer un signal à partir de l’origine.
Lorsque la convolution de deux fonctions causales existe, elle permet de les combiner en préservant leur causalité.
La transformée de Laplace prolonge l’étude des signaux causaux dans un cadre adapté aux équations différentielles et aux systèmes.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres