Croissance lente
L’expression « croissance lente » recouvre ici deux emplois distincts. Pour une fonction, elle peut signifier qu’elle croît plus lentement que toute puissance positive : les fonctions logarithmiques en sont des exemples typiques. Dans le cadre des distributions tempérées, l’expression désigne un contrôle plus large, lié à une croissance au plus polynomiale pour les fonctions ordinaires. La fiche précise cette distinction avant d’expliquer le rôle de l’espace de Schwartz et de la transformée de Fourier.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler le critère sous-polynomial avec tous les exposants positifs.
- Distinguer ce critère d'une simple majoration par une puissance fixe.
- Vérifier sur ln(1 + x²) la perte de terrain face à une racine carrée.
- Relier l'espace de Schwartz, son dual tempéré et la transformée de Fourier.
- Éviter les conclusions tirées d'un nombre fini de valeurs ou d'une majoration ponctuelle inadaptée.
En clair
Comparez le logarithme de nombres de plus en plus grands à leurs puissances. Le logarithme augmente sans cesse, mais chaque puissance positive finit par le distancer. Même une puissance aussi faible que la racine carrée prend durablement l'avantage lorsque les nombres deviennent assez grands.
Cette idée décrit une croissance lente au sens sous-polynomial. En analyse de Fourier, la même expression est aussi employée dans un sens plus large : une croissance contrôlée par une puissance fixe suffit pour travailler avec les distributions tempérées.
Définition
Soit f une fonction définie pour les grands nombres réels positifs. Dire que f croît plus lentement que toute puissance positive signifie que, pour chaque exposant réel α strictement positif, le quotient de la valeur absolue de f(x) par xα tend vers zéro quand x tend vers l'infini : . Le logarithme naturel et ses itérés satisfont ce critère.
En théorie des distributions, « à croissance lente » renvoie couramment à un autre seuil. Une fonction localement intégrable dont la valeur absolue est majorée par C(1 + |x|)N, pour une constante C positive et un entier N, définit une distribution tempérée. Une distribution tempérée générale est, plus précisément, une forme linéaire continue sur l'espace de Schwartz ; elle n'est pas nécessairement donnée par une fonction ni soumise à une majoration ponctuelle.
L'espace de Schwartz rassemble les fonctions lisses dont la fonction et toutes les dérivées décroissent plus vite que toute puissance inverse. Son dual est l'espace des distributions tempérées. La Transformée de Fourier se prolonge à cet espace, ce qui explique le rôle central de ce cadre en analyse harmonique.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f définie, pour tout nombre réel x, par f(x) = ln(1 + x2). Comparons-la à la puissance x1/2 aux valeurs positives x = 100 et x = 10 000. Les logarithmes seront arrondis au millième.
1. À x = 100, f(100) = ln(10 001) ≈ 9,210 et 1001/2 = 10. Le quotient vaut donc environ 0,921.
2. À x = 10 000, f(10 000) = ln(100 000 001) ≈ 18,421 et 10 0001/2 = 100. Le quotient vaut alors environ 0,184. La figure compare ces deux quotients sur la même échelle.
3. Multiplier x par 100 a presque doublé f(x), tandis que la racine carrée a été multipliée par 10. Ce calcul illustre la perte de terrain du logarithme, mais deux valeurs ne prouvent pas une limite.
4. Le contrôle général utilise le résultat suivant, valable pour tout exposant α positif : . La fonction f est donc bien sous-polynomiale, et sa croissance est aussi suffisamment contrôlée pour qu'elle définisse une distribution tempérée.
En pratique
Pour comparer deux algorithmes dont les coûts contiennent un logarithme et une puissance, examinez leur quotient lorsque la taille des données augmente. Une estimation asymptotique est préférable à quelques mesures si le quotient peut encore changer de tendance.
Pour décider si une fonction localement intégrable fournit une distribution tempérée, cherchez une majoration polynomiale globale. Si aucune puissance fixe ne la majore, il faut revenir à la continuité sur l'espace de Schwartz plutôt que conclure à partir du seul graphe.
En analyse harmonique, le cadre tempéré est choisi lorsque l'on veut appliquer la transformée de Fourier à des objets qui ne sont pas des fonctions intégrables ordinaires. Pour une fonction intégrable, la définition classique peut suffire ; pour une distribution tempérée, le prolongement par dualité est l'outil adapté.
À ne pas confondre
Croissance lente et croissance au plus polynomiale. La première, au sens sous-polynomial, exige d'être dominée par chaque puissance positive ; la seconde exige une majoration par une seule puissance fixe. Ainsi, ln(1 + x2) satisfait les deux conditions, tandis que x2 est au plus polynomiale sans être sous-polynomiale.
Croissance lente et décroissance rapide. Une fonction à croissance lente peut augmenter, alors qu'une fonction de l'espace de Schwartz et chacune de ses dérivées tendent vers zéro plus vite que toute puissance inverse. Le logarithme augmente lentement, mais n'appartient pas à l'espace de Schwartz.
Limites et pièges
Quantificateur oublié. Être plus petit que x2 pour les grands x ne suffit pas à être sous-polynomial. La fonction x croît moins vite que x2, mais pas moins vite que x1/2. Il faut tester chaque exposant strictement positif.
Quelques valeurs ne prouvent pas l'asymptotique. Deux courbes peuvent se croiser tardivement. Le symptôme est une conclusion tirée d'un tableau fini ; il faut étudier la limite du quotient, comme dans l'exemple avec ln(1 + x2).
Distribution sans valeurs ponctuelles. Une distribution tempérée n'est pas toujours une fonction que l'on peut majorer point par point. Dans ce cas, chercher |f(x)| n'a pas de sens ; il faut vérifier son action continue sur les fonctions de l'espace de Schwartz.
Transformée hors du cadre tempéré. La transformée de Fourier des distributions est garantie dans l'espace tempéré au sens usuel de ce cadre. Une croissance exponentielle ne fournit pas automatiquement une distribution tempérée ; il faut alors changer d'espace ou ajouter des hypothèses.
Pour aller plus loin
Transformée de Fourier — Voir comment une fonction est décomposée en fréquences et situer son prolongement aux distributions tempérées.
À la base du traitement du signal — Relier l'analyse harmonique à un usage concret des fréquences et de la transformation de Fourier.
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