Freudenthal Hans

En 1930, Hans Freudenthal quitte l'Allemagne pour les Pays-Bas et devient l'assistant de Brouwer à Amsterdam. Son parcours relie ensuite plusieurs mondes : la topologie, l'enseignement des mathématiques et même la recherche d'un langage pour communiquer par radio avec une éventuelle vie extraterrestre. Ces domaines ne constituent pas une théorie unique : le parcours les organise selon la forme de chaque apport, du théorème topologique à la pédagogie par problèmes concrets, au langage construit pour la radio et au dialogue logique fondé sur des informations séparées.

Son problème de Prosper et Sophie donne une image concrète de sa manière de penser. Deux personnes connaissent des informations différentes sur les mêmes entiers : l'une leur produit, l'autre leur somme. En échangeant quatre phrases, elles éliminent peu à peu les couples impossibles. Le savoir de chacun dépend alors de ce que l'autre sait.

Hans Freudenthal (1905-1990) est un mathématicien né en Allemagne, puis naturalisé néerlandais. Polyglotte, également attiré par la littérature et la poésie, il émigre aux Pays-Bas en 1930 et travaille à Amsterdam comme assistant de Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Il soutient en 1931, à Berlin et sous la direction de Heinz Hopf, une thèse consacrée aux groupes topologiques. En 1937, son théorème de suspension relie les groupes d'homotopie d'un espace pointé à ceux de sa suspension et ouvre la voie à l'homotopie stable.

Déporté dans un camp de travail pendant la Seconde Guerre mondiale parce qu'il est juif, il échappe au camp d'extermination, sa femme n'étant pas juive. À partir de 1946, il occupe la chaire de mathématiques pures et appliquées de l'université d'Utrecht. Son engagement dans l'enseignement se manifeste par la création de la revue Educational Studies in Mathematics, la fondation de l'Institut Freudenthal et la présidence de l'ICMI. Sa pédagogie fait émerger les concepts à partir de problèmes concrets de la vie courante.

En 1960, Freudenthal conçoit Lincos, ou Lingua Cosmica, pour transmettre par radio des messages à une éventuelle vie extraterrestre. Le problème de Freudenthal, aussi appelé problème de Prosper et Sophie, met en scène deux entiers nommés x et y, soumis aux conditions 1 < x < y et x + y ≤ 100. Prosper connaît leur produit xy et Sophie leur somme x + y. Un dialogue de quatre répliques leur permet d'identifier successivement les deux nombres par élimination : c'est un exemple de logique épistémique, où l'on raisonne sur le savoir des interlocuteurs.

Pour voir ce que chacun sait avant le dialogue, prenons un petit cas construit avec les entiers x = 3 et y = 8. Ils respectent 1 < x < y et leur somme reste inférieure à 100. Prosper reçoit le produit 24 ; Sophie reçoit la somme 11.

Données : les entiers sont strictement supérieurs à 1, le premier est inférieur au second, Prosper connaît 24 et Sophie connaît 11. La figure regroupe les couples compatibles avec chacune de ces deux informations.

1. Prosper décompose 24 en produits admissibles : 2 × 12, 3 × 8 et 4 × 6. Son information seule laisse donc trois couples possibles.
2. Sophie décompose 11 en sommes admissibles : 2 + 9, 3 + 8, 4 + 7 et 5 + 6. Son information seule laisse quatre couples possibles.
3. Le couple (3, 8) est le seul présent dans les deux listes.

Le contrôle donne 3 × 8 = 24 et 3 + 8 = 11. Cette intersection vérifie le calcul, mais elle suppose que les deux informations soient réunies. Dans le problème de Freudenthal, elles restent d'abord séparées : ce sont les répliques et les éliminations qu'elles autorisent qui font progresser Prosper et Sophie.

Voici une mini-étape construite pour montrer ce mécanisme, sans prétendre reproduire le dialogue canonique. Supposons qu'à un certain stade les candidats publics restants soient (3, 8), (4, 7) et (2, 10). Sophie connaît seulement la somme. Si elle dit « Je ne sais pas », chacun peut éliminer (2, 10) : avec la somme 12, ce serait le seul candidat restant, donc elle aurait su. Les couples (3, 8) et (4, 7), tous deux de somme 11, subsistent. Sophie n'a pas révélé sa somme ; sa réplique a seulement révélé qu'elle ne permettait pas encore de choisir un couple.

Pour lire le parcours de Freudenthal, on peut suivre trois fils distincts : le théorème de suspension pour la topologie, les institutions et la revue pour l'éducation mathématique, puis Lincos pour la communication symbolique. Une chronologie seule ordonne les dates ; ces trois fils sont préférables lorsque l'on veut relier chaque réalisation à son domaine.

Pour aborder le problème de Prosper et Sophie, on liste d'abord tous les couples d'entiers compatibles avec le produit ou avec la somme annoncée. Un calcul direct suffit si une information ne laisse qu'un couple ; un tableau de possibilités devient préférable dès que plusieurs décompositions subsistent. Après chaque réplique, on retire les couples incompatibles avec ce que l'interlocuteur vient de révéler sur son savoir.

En enseignement, l'approche attribuée à Freudenthal part d'un problème concret pour faire apparaître le concept. Une présentation formelle immédiate reste utile lorsque les notions sont déjà acquises ; la situation-problème est préférable lorsque l'objectif est de faire émerger les relations par l'activité et la discussion.

Le théorème de Freudenthal et le problème de Freudenthal ne désignent pas le même apport. Le premier concerne l'homotopie et la suspension d'un espace pointé ; le second met en scène une somme, un produit et un dialogue logique. La présence d'entiers et de deux interlocuteurs indique que l'on parle du problème.

Lincos n'est pas l'une des sept langues maîtrisées par Freudenthal. Les langues énumérées dans son parcours sont des langues humaines ; Lincos est le langage qu'il conçoit en 1960 pour une communication radio avec une éventuelle vie extraterrestre. L'année 1960 et cette destination permettent de trancher.

La didactique des mathématiques n'est pas un autre nom de la topologie algébrique. Dans ce portrait, la première porte sur l'introduction des concepts par des problèmes concrets ; la seconde comprend les travaux sur l'homotopie et le théorème de suspension. Le type d'objet étudié sépare les deux domaines.

La somme ou le produit ne suffisent pas toujours. Dans le cas construit, 24 correspond à trois couples admissibles et 11 à quatre. Cette multiplicité est le symptôme d'une information insuffisante. Il faut conserver tous les candidats, puis appliquer seulement les éliminations justifiées par le dialogue.

Réunir les deux informations change le problème. Croiser directement la liste du produit 24 et celle de la somme 11 isole (3, 8), mais Prosper et Sophie ne disposent pas initialement des deux nombres. Il faut raisonner sur ce que chaque réplique révèle, sans donner à un interlocuteur l'information privée de l'autre.

La borne et l'ordre font partie des données. Les conditions 1 < x < y et x + y ≤ 100 écartent notamment les entiers 0 et 1, les couples égaux et les sommes supérieures à 100. Modifier l'une de ces règles modifie l'ensemble des possibilités ; il faut alors recommencer les listes.

Le portrait ne remplace pas les énoncés complets. Il situe le théorème de suspension par son rôle dans l'homotopie et résume Lincos par sa destination. Pour appliquer le théorème ou étudier la construction du langage, il faut consulter un développement qui expose leurs conditions et leur formalisme.

Trois fiches prolongent les principaux fils mathématiques et pédagogiques de ce portrait.

La fiche Homotopie présente le cadre dans lequel s'inscrit le théorème de suspension de Freudenthal.

La fiche didactique des mathématiques approfondit le domaine auquel Freudenthal a consacré sa pédagogie et ses institutions.

La fiche Brouwer Luitzen Egbertus Jan situe le mathématicien dont Freudenthal devient l'assistant à Amsterdam en 1930.