GéométrieNotion · Glossaire
fibration de Hopf
La fibration de Hopf est une application continue de la sphère S3 vers la sphère S2 dont chaque fibre est un grand cercle, donc une copie de S1. Ces cercles partitionnent S3, mais cette organisation n’est pas celle du produit S2 × S1.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Voir S² comme l’espace qui indexe les fibres circulaires de S³.
- Lire une formule explicite de l’application de Hopf en coordonnées complexes.
- Calculer et contrôler la fibre située au-dessus du pôle nord de S².
- Distinguer la fibration de Hopf d’un produit, d’une homotopie et d’un fibré quelconque.
- Interpréter correctement une projection tridimensionnelle des fibres.
En clair
Imaginez la sphère S3 comme un espace rempli de cercles qui ne se coupent jamais. Chaque point appartient à un seul de ces cercles. La fibration de Hopf associe ensuite tout un cercle à un point unique de la sphère ordinaire S2.
On peut donc voir S2 comme une carte des cercles contenus dans S3 : choisir un point sur la carte sélectionne une fibre circulaire entière. Cette image est fidèle, même si S3 ne se visualise pas directement dans notre espace à trois dimensions.
Définition
La fibration de Hopf est une application surjective et continue, notée p, de la sphère tridimensionnelle S3 vers la sphère bidimensionnelle S2. Pour chaque point y de S2, la fibre au-dessus de y est l’ensemble des points x de S3 tels que p(x) = y. Chaque fibre est un grand cercle de S3, homéomorphe au cercle S1, et deux fibres distinctes sont disjointes.
Une réalisation précise identifie S3 aux couples de nombres complexes (z1, z2) qui vérifient |z1|2 + |z2|2 = 1. L’application peut alors s’écrire :
Multiplier simultanément z1 et z2 par un même nombre complexe de module 1 ne change pas leur image. Ce mouvement décrit exactement une fibre circulaire. La fibration est non triviale : S3 n’est pas homéomorphe à S2 × S1. Introduite par Heinz Hopf en 1931, elle fournit une application entre sphères de dimensions différentes qui n’est pas homotopiquement nulle et établit ainsi que le groupe d’homotopie π3(S2) n’est pas trivial. Cet exemple joue un rôle fondateur en topologie algébrique et différentielle.
Un exemple, pas à pas
Cherchons la fibre du pôle nord N = (0, 0, 1) de S2.
Données :
• un point de S3 est un couple complexe (z1, z2) ;
• |z1|2 + |z2|2 = 1 ;
• la troisième coordonnée de p vaut |z1|2 − |z2|2.
Données :
• un point de S3 est un couple complexe (z1, z2) ;
• |z1|2 + |z2|2 = 1 ;
• la troisième coordonnée de p vaut |z1|2 − |z2|2.
1. Pour obtenir la troisième coordonnée 1, les deux relations imposent |z1|2 = 1 et |z2|2 = 0. Donc z2 = 0 et |z1| = 1.
2. Tout nombre complexe de module 1 s’écrit eit, où le paramètre réel t parcourt un tour de 0 inclus à 2π exclu. La fibre cherchée est donc : .
3. Lorsque t varie, le premier nombre complexe parcourt le cercle unité tandis que le second reste nul. On obtient une copie de S1 dans S3.
Contrôle : pour tout t, |eit|2 + 0 = 1, et p redonne exactement (0, 0, 1). Ces points, et seulement eux, forment la fibre de N.
En pratique
Pour étudier une fibre concrète, on fixe un point de S2 puis on résout l’équation p(z1, z2) = y sous la contrainte de S3. Une paramétrisation par une phase commune fait alors apparaître le cercle.
Pour visualiser la fibration, on projette généralement S3 dans l’espace ordinaire. Les fibres deviennent des cercles, à l’exception possible de celle qui traverse le point de projection, représentée par une droite. Cette vue aide à observer l’entrelacement, mais elle déforme les distances.
En topologie algébrique, la fibration sert à relier les propriétés de S1, S3 et S2. Si la question porte seulement sur une déformation continue d’une application, le langage de l’homotopie suffit ; la structure en fibres apporte en plus l’organisation locale des préimages.
À ne pas confondre
Avec un produit S2 × S1. Dans un produit, les fibres circulaires sont globalement organisées comme des copies parallèles du même facteur. La fibration de Hopf est non triviale : son espace total est S3, qui n’est pas homéomorphe à ce produit.
Avec une homotopie. Une homotopie est une déformation continue entre applications. La fibration de Hopf est, elle, une application particulière p : S3 → S2 avec des fibres circulaires ; on peut ensuite étudier sa classe d’homotopie.
Avec un fibré quelconque. Un fibré peut avoir d’autres espaces de base, espaces totaux ou fibres. Le cas de Hopf se reconnaît précisément aux trois espaces S1, S3 et S2, ainsi qu’à sa non-trivialité.
Limites et pièges
Une image dans ℝ3 n’est pas S3. La sphère S3 vit naturellement dans un espace réel à quatre dimensions. Une projection en trois dimensions peut transformer une fibre en droite et déformer angles ou distances ; il faut y lire l’incidence et l’entrelacement, non des mesures.
La fibre n’est pas un point. L’application envoie chaque point de S3 sur S2, mais la préimage d’un point de S2 est un cercle entier. Confondre image et préimage efface précisément la structure de la fibration.
« Non triviale » ne signifie pas discontinue. L’application est continue et localement organisée comme un produit. Le défaut apparaît globalement : aucun homéomorphisme ne transforme S3 en S2 × S1 tout en conservant cette structure de fibres.
Le paramètre de phase est périodique. Les valeurs t = 0 et t = 2π donnent le même point. Pour énumérer chaque point de la fibre une seule fois, on prend donc 0 ≤ t < 2π plutôt qu’un intervalle fermé aux deux extrémités.
Pour aller plus loin
fibration — Situer l’exemple de Hopf dans le cadre général des espaces organisés en fibres au-dessus d’une base.
Homotopie — Approfondir le sens d’une application non homotopiquement nulle et le rôle des groupes d’homotopie.
fibré — Comparer l’espace total, la base et la fibre, puis reconnaître ce qui rend un fibré trivial ou non.
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