AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
matrice contractante
Pour une norme donnée, une matrice carrée M est contractante si son application linéaire réduit uniformément les distances : il existe k, avec 0 ≤ k < 1, tel que ‖Mx − My‖ ≤ k‖x − y‖ pour tous vecteurs x et y ; il suffit que la norme d’opérateur de M soit strictement inférieure à 1. Sur un espace complet, cette contraction garantit qu’une itération affine de partie linéaire M converge vers son unique point fixe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le critère de contraction à partir d’une norme d’opérateur strictement inférieure à 1.
- Suivre une itération affine exacte jusqu’au calcul de son point fixe.
- Reconnaître les cas où le seuil, la norme ou la complétude empêchent de conclure.
En clair
Imaginez deux points dessinés sur un plan. Après multiplication de leurs coordonnées par une même matrice, ils se rapprochent toujours : leur nouvelle distance représente moins de 100 % de l’ancienne. Cette matrice est contractante pour la distance choisie.
En répétant l’opération, les écarts rétrécissent au plus selon un même facteur inférieur à 1. Cette réduction régulière explique pourquoi une itération gouvernée par une contraction finit par rejoindre un unique point fixe.
Définition
Soit M une matrice carrée réelle ou complexe, qui représente l’application linéaire f envoyant un vecteur x sur Mx. Une norme choisie sur les vecteurs mesure les distances. La matrice est contractante pour cette norme lorsqu’il existe une constante k strictement inférieure à 1 telle que, pour tous vecteurs x et y, la distance entre leurs images soit au plus k fois leur distance initiale.
Cette condition s’écrit : . La norme subordonnée de M, aussi appelée norme d’opérateur, est le plus grand facteur d’agrandissement produit par M sur un vecteur non nul. Si cette norme est strictement inférieure à 1, elle fournit donc un facteur de contraction valable.
Dans un espace métrique complet, le théorème de Banach-Picard garantit qu’une application contractante possède un unique point fixe et que ses itérations y convergent. Pour l’application linéaire x ↦ Mx, ce point fixe est le vecteur nul. Dans une itération affine x ↦ Mx + b, la matrice M contrôle de la même manière le rapprochement entre deux trajectoires.
De quoi c'est fait
Une matrice contractante réunit cinq éléments. Son format carré fait agir la matrice dans un même espace de départ et d’arrivée. Ses coefficients déterminent l’image Mx de chaque vecteur x. Une norme sur les vecteurs fixe la manière de mesurer les distances. La norme d’opérateur de M dépend de cette norme et mesure son agrandissement maximal. Enfin, un facteur k inférieur à 1 borne cet agrandissement.
Les coefficients seuls ne suffisent donc pas à lire la contraction : ils agissent sur des vecteurs, puis la norme mesure le résultat. Le choix de la norme intervient dans la valeur du facteur. Ces données suffisent à tester l’inégalité de contraction et à majorer la vitesse à laquelle deux suites soumises à la même itération se rapprochent.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan muni de la norme euclidienne, on considère la matrice M diagonale de coefficients 1/2 et 1/4, le vecteur constant b = (1, 2) et l’application affine F définie par F(x) = Mx + b. Le point de départ est x0 = (0, 0).
1. Pour un vecteur u = (u1, u2), la matrice donne Mu = (u1/2, u2/4). Sa norme d’opérateur euclidienne vaut 1/2 : M est donc contractante avec k = 1/2.
2. Les trois premières itérations sont :
3. Un point fixe p vérifie p = Mp + b. Les deux coordonnées se calculent séparément :
Le résultat est le point fixe unique p = (2, 8/3). Pour contrôler le calcul, on remplace p dans F : Mp + b = (1 + 1, 2/3 + 2) = (2, 8/3). La figure suit les premières positions et leur rapprochement vers p.
En pratique
Pour étudier une itération xn+1 = Mxn + b, on calcule ou on majore la norme d’opérateur de M. Une borne strictement inférieure à 1 garantit que deux trajectoires se rapprochent et que l’itération converge vers son unique point fixe.
Dans une méthode itérative de résolution d’un système linéaire, on cherche précisément cette contraction pour justifier la convergence. Si la borne obtenue atteint ou dépasse 1, le critère ne conclut pas ; il faut changer l’itération, choisir une norme adaptée ou employer une autre analyse de convergence.
À ne pas confondre
Application non expansive. Elle vérifie la même inégalité avec un facteur égal à 1, mais n’impose aucun rapprochement strict. L’identité conserve toutes les distances : elle est non expansive, mais pas contractante.
Matrice dont les coefficients sont petits. Examiner séparément les coefficients ne teste pas la contraction. Le critère porte sur l’effet maximal de la matrice sur tous les vecteurs, mesuré par une norme d’opérateur.
Limites et pièges
Seuil k = 1. Une majoration par 1 autorise la conservation des distances. Le symptôme est l’absence de diminution garantie ; il faut établir une borne strictement inférieure à 1 pour invoquer Banach-Picard comme contraction.
Norme non précisée. La valeur de la norme d’opérateur dépend de la norme choisie sur les vecteurs. Une affirmation de contraction doit donc annoncer ce choix et utiliser la même norme des deux côtés de l’inégalité.
Espace non complet. L’inégalité peut rapprocher les itérés sans que leur limite appartienne à l’espace étudié. Pour conclure à l’existence du point fixe dans cet espace, il faut vérifier l’hypothèse de complétude.
Matrice et application affine. Dans F(x) = Mx + b, le vecteur b déplace le point fixe mais disparaît dans la différence F(x) − F(y). Il faut tester M pour la contraction, puis résoudre séparément l’équation du point fixe.
Pour aller plus loin
La norme précise la mesure des longueurs et explique pourquoi la norme d’opérateur dépend du cadre choisi.
Le théorème du point fixe replace la contraction dans le résultat qui garantit l’existence, l’unicité et la convergence des itérations.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres