AnalyseMéthode · Glossaire
méthode d'approximation du point fixe
Prenons le nombre 4 et appliquons toujours la même recette : ajouter 2, puis diviser par 3. On obtient successivement 2, puis 4/3, puis 10/9. Les résultats se rapprochent de 1. Or la recette appliquée à 1 redonne 1 : ce nombre ne bouge plus. Cette répétition illustre la méthode du point fixe, qui résout des équations de la forme f(x) = x.
En général, on part d’une valeur initiale x₀ choisie judicieusement, puis on réinjecte chaque résultat dans f pour obtenir le suivant : la suite est définie par xₙ = f(xₙ₋₁) pour n ≥ 1. Si elle converge vers une limite α et si f est continue en α, alors cette limite est un point fixe de f, c’est-à-dire une solution de l’équation.
La convergence est garantie sous certaines conditions données par les théorèmes du point fixe, dont le plus classique est le théorème de Banach (ou du point fixe contractant) : si f est une contraction d’un sous-ensemble complet non vide dans lui-même, la suite converge vers un unique point fixe.
Géométriquement, pour une fonction de ℝ dans ℝ, les points fixes correspondent aux intersections de la courbe représentative de f avec la première bissectrice du repère, c’est-à-dire la droite d’équation y = x.
En général, on part d’une valeur initiale x₀ choisie judicieusement, puis on réinjecte chaque résultat dans f pour obtenir le suivant : la suite est définie par xₙ = f(xₙ₋₁) pour n ≥ 1. Si elle converge vers une limite α et si f est continue en α, alors cette limite est un point fixe de f, c’est-à-dire une solution de l’équation.
La convergence est garantie sous certaines conditions données par les théorèmes du point fixe, dont le plus classique est le théorème de Banach (ou du point fixe contractant) : si f est une contraction d’un sous-ensemble complet non vide dans lui-même, la suite converge vers un unique point fixe.
Géométriquement, pour une fonction de ℝ dans ℝ, les points fixes correspondent aux intersections de la courbe représentative de f avec la première bissectrice du repère, c’est-à-dire la droite d’équation y = x.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire une suite par réinjection de chaque approximation dans la fonction.
- Vérifier l’invariance d’un intervalle et le caractère contractant d’une fonction.
- Calculer cinq itérations exactes et contrôler la valeur approchée obtenue.
- Distinguer un point fixe d’un zéro et la méthode du point fixe de celle de Newton.
- Repérer la divergence, l’alternance au seuil q = 1 et une sortie du domaine.
En clair
Prenons le nombre 4 et appliquons toujours la même recette : ajouter 2, puis diviser par 3. On obtient successivement 2, puis 4/3, puis 10/9. Les résultats se rapprochent de 1. Or la recette appliquée à 1 redonne 1 : ce nombre ne bouge plus.
La méthode du point fixe transforme ainsi une équation en répétition. On choisit un départ, on réinjecte chaque résultat dans la fonction et l’on observe si la suite se stabilise. La stabilité n’est toutefois pas automatique : elle dépend de la fonction et de la zone où l’on itère.
Définition
Soit une fonction f définie sur un ensemble D. Un nombre α de D est un point fixe lorsque f(α) = α. Pour l’approcher, on choisit une valeur initiale x0 dans D, puis on construit la suite dont chaque terme est l’image du précédent : , pour tout entier n positif ou nul. Si cette suite converge vers α et si f est continue en α, le passage à la limite donne α = f(α).
Le choix de la fonction itérée compte autant que l’équation de départ. Une même équation peut souvent être réécrite de plusieurs façons sous la forme x = f(x), mais ces fonctions n’ont pas le même comportement. Le point de départ doit aussi rester dans une zone où f est définie et où les itérations ne s’échappent pas.
Dans un espace métrique complet, le théorème de Banach donne un cadre décisif : si f envoie un ensemble fermé non vide dans lui-même et rapproche toutes les distances d’un facteur strictement inférieur à 1, elle possède un unique point fixe dans cet ensemble. Toute suite d’itérations partie de cet ensemble converge alors vers lui. Pour une fonction réelle, ce point est l’intersection de la courbe y = f(x) et de la droite y = x.
Le principe
Choisissez un ensemble fermé D dans un espace complet et une valeur x0 dans D. Supposez que f envoie D dans D et qu’il existe un nombre q, avec 0 ≤ q < 1, tel que, pour tous points x et y de D,
Alors f possède dans D un unique point fixe α, et la récurrence xn+1 = f(xn) converge vers α. On s’arrête en pratique lorsque deux termes successifs sont assez proches pour la précision demandée.
Quand l'utiliser
La garantie de Banach demande trois vérifications. L’ensemble D doit être complet pour la distance utilisée ; un intervalle fermé de ℝ convient. La fonction doit conserver cet ensemble : f(x) appartient à D dès que x appartient à D. Enfin, elle doit être contractante avec un même facteur q strictement inférieur à 1. Sur un intervalle réel, si f est dérivable et si |f′(x)| ≤ q < 1 partout, cette condition garantit que f est contractante ; pour conclure à la convergence par le théorème de Banach, l’intervalle doit aussi être non vide, fermé et conservé par f.
Dans l’exemple f(x) = (x + 2)/3, l’intervalle [1, 4] est conservé et le facteur de contraction vaut 1/3. À l’inverse, la fonction g(x) = 2x a bien le point fixe 0, mais une valeur initiale non nulle s’en éloigne. L’itération simple n’est alors pas adaptée ; il faut choisir une autre reformulation ou une autre méthode numérique.
Un exemple, pas à pas
Résolvons x = (x + 2)/3 en partant de x0 = 4. La fonction utilisée est f(x) = (x + 2)/3, l’intervalle de travail est [1, 4] et la précision visée est un écart inférieur à 0,05 entre deux termes successifs.
1. La fonction conserve [1, 4] : si 1 ≤ x ≤ 4, alors 1 ≤ (x + 2)/3 ≤ 2. Son facteur de contraction est 1/3.
2. Les quatre premières itérations donnent x1 = 2, x2 = 4/3, x3 = 10/9 et x4 = 28/27.
3. L’écart |x4 − x3| vaut 2/27, soit environ 0,074. Une itération supplémentaire donne x5 = 82/81 et un écart de 2/81, soit environ 0,025 : le critère d’arrêt est satisfait.
4. La valeur approchée est donc 82/81 ≈ 1,012. Le contrôle exact consiste à résoudre 3x = x + 2, ce qui donne x = 1. L’erreur réelle vaut 1/81, soit environ 0,012, cohérente avec la convergence observée.
Le tracé de l’itération relie alternativement la courbe de f et la droite y = x. L’escalier obtenu se resserre autour de leur intersection, le point fixe 1.
En pratique
Pour un calcul à la main, on choisit une reformulation qui garde les valeurs dans un intervalle simple et dont la dérivée y reste petite en valeur absolue. Si les termes oscillent en s’éloignant, cette reformulation doit être abandonnée.
Dans un programme, on fixe une tolérance et un nombre maximal d’itérations. On compare |xn+1 − xn| à la tolérance, tout en surveillant les valeurs non définies et la sortie du domaine prévu.
Lorsque la contraction est faible, la méthode est robuste mais peut être lente. Une méthode de Newton peut converger plus vite près d’une solution, mais elle exige une dérivée exploitable et un départ suffisamment favorable.
À ne pas confondre
Point fixe et zéro d’une fonction. Un point fixe de f vérifie f(x) = x, tandis qu’un zéro de f vérifie f(x) = 0. Pour f(x) = (x + 2)/3, le point fixe est 1, alors que le zéro est −2. Les points fixes de f sont exactement les zéros de la fonction x ↦ f(x) − x.
Méthode du point fixe et méthode de Newton. La première répète directement xn+1 = f(xn). La seconde construit une nouvelle valeur à partir de la tangente d’une fonction dont on cherche un zéro. Les deux sont itératives, mais leur formule et leurs conditions de convergence diffèrent.
Limites et pièges
Un point fixe n’assure pas la convergence. Pour g(x) = 2x, le point fixe 0 existe, mais x0 = 1 produit 2, 4, 8, puis des valeurs toujours plus grandes. Le symptôme est un écart croissant ; il faut changer de reformulation.
Le seuil q = 1 est charnière. Banach exige q < 1. Avec f(x) = 1 − x, les distances sont conservées : q = 1. Sauf si l’on part du point fixe 1/2, la suite alterne entre deux valeurs et ne converge pas.
Un petit pas ne prouve pas toujours une petite erreur. Le test |xn+1 − xn| peut arrêter une suite qui progresse très lentement loin d’un point fixe. Une borne d’erreur issue du facteur q, ou le résidu |f(xn) − xn| interprété avec les hypothèses adéquates, apporte un contrôle plus solide.
Sortir du domaine casse l’itération. Une formule contenant une racine ou un dénominateur peut devenir non définie après un seul pas. Il faut vérifier avant le calcul que f conserve l’ensemble choisi, puis imposer dans le programme une détection de sortie.
Pour aller plus loin
Théorème du point fixe — Situer la garantie de Banach parmi les résultats qui assurent l’existence ou l’unicité d’un point fixe.
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