Hahn Hans

En 1920, à Vienne, Hans Hahn introduit des idées qui permettent d’étudier des espaces où l’on peut à la fois additionner des objets et parler de leur proximité. Cette rencontre entre calcul et géométrie prépare une partie de l’analyse fonctionnelle moderne.

Son nom demeure surtout lié au théorème de Hahn-Banach : une forme linéaire définie sur un sous-espace vectoriel et dominée par une fonction sous-linéaire peut être prolongée à tout l’espace en conservant cette domination ; dans un espace normé, cela permet de prolonger une forme linéaire continue sans augmenter sa norme. Hahn a aussi marqué la topologie, la mesure, le calcul des variations et la philosophie des sciences.

Hans Hahn (1879–1934) est un mathématicien et philosophe autrichien. Après avoir abandonné le droit, il se forme à l’Université de Vienne et étudie aussi à Strasbourg et à Munich. À Vienne, sa thèse de 1902 porte sur la théorie de la seconde variation des intégrales définies ; son habilitation de 1905 concerne le calcul des variations. Il enseigne ensuite à Czernowitz et à Bonn, puis obtient en 1921 une chaire à l’Université de Vienne. Karl Menger, Witold Hurewicz et Kurt Gödel comptent parmi ses étudiants.

En 1920, Hahn introduit, indépendamment de Banach, la notion d’espace vectoriel topologique et celle de dual d’un tel espace. Le théorème de Hahn-Banach, démontré et généralisé par Banach en 1932 à partir de ses résultats, garantit l’existence d’extensions de formes linéaires continues. Ce résultat est devenu fondamental en analyse fonctionnelle. La chronologie de ces étapes distingue la contribution de Hahn de la généralisation ultérieure de Banach.

Ses travaux couvrent aussi la topologie, la théorie des ensembles, l’analyse harmonique et la théorie de la mesure. Son nom apparaît notamment dans le théorème de décomposition de Hahn, le théorème de Hahn-Kolmogorov, le théorème de Vitali-Saks-Hahn et le théorème de Hahn-Mazurkiewicz. En philosophie, ses publications portent sur l’épistémologie des sciences naturelles.

Prenons le plan formé des couples de nombres (x, y) et, à l’intérieur, son axe horizontal, composé des points (x, 0). Cet axe est un sous-espace : une partie du plan stable quand on additionne ses points ou qu’on les multiplie par un nombre. Sur cet axe, définissons la règle f(x, 0) = x. Elle est linéaire, car elle respecte ces deux opérations. Dans ce plan, la norme d’un point désignera sa longueur usuelle.

1. La règle f n’est pour l’instant définie que sur l’axe horizontal. Pour la prolonger, il faut donner une valeur à chaque point (x, y) du plan tout en retrouvant f sur les points (x, 0).

2. Posons F(x, y) = x dans tout le plan. La nouvelle règle est encore linéaire et, sur l’axe horizontal, F(x, 0) = x = f(x, 0) : F prolonge donc bien f.

3. Avec la distance euclidienne usuelle, la valeur absolue de x ne dépasse jamais la longueur du point (x, y). La règle prolongée F a ainsi la même norme que f, égale à 1 : le prolongement n’a pas augmenté sa norme.

On peut refaire le contrôle avec n’importe quel point : F(3, 4) = 3, et sur l’axe F(3, 0) = 3 redonne la valeur de f. Ce micro-exemple illustre le geste de prolonger sous contrôle d’une norme ; le théorème général garantit une existence sous ses hypothèses, mais ne fournit pas une recette unique pour tous les espaces.

Pour situer Hans Hahn dans l’histoire de l’analyse fonctionnelle, on repère d’abord son apport de 1920 aux espaces vectoriels topologiques et à leur dual. Si la recherche porte sur la démonstration et la généralisation de 1932, il faut alors suivre l’apport de Banach.

Pour explorer ses travaux au-delà de Hahn-Banach, le nom du résultat indique le domaine à consulter. La décomposition de Hahn et Hahn-Kolmogorov relèvent de la théorie de la mesure ; Hahn-Mazurkiewicz conduit vers la topologie ; Vitali-Saks-Hahn ouvre une autre piste en analyse.

Pour étudier son parcours intellectuel, on distingue enfin ses recherches mathématiques de ses publications philosophiques. Ces dernières portent sur l’épistémologie des sciences naturelles, plutôt que sur une application supplémentaire du théorème de Hahn-Banach.

Hans Hahn et Stefan Banach. Hahn introduit en 1920, indépendamment de Banach, les notions d’espace vectoriel topologique et de dual ; Banach démontre et généralise en 1932 le théorème issu de ces résultats. La date et la nature de l’apport permettent de les distinguer.

Le mathématicien et le théorème de Hahn-Banach. Hans Hahn est une personne dont les recherches couvrent plusieurs domaines ; Hahn-Banach est un résultat précis sur l’extension de formes linéaires continues. Une recherche biographique ne se réduit donc pas à l’énoncé du théorème.

Hahn-Banach et la décomposition de Hahn. Le premier nomme un résultat fondamental de l’analyse fonctionnelle ; la seconde appartient à la théorie de la mesure. Le type d’objet étudié — forme linéaire à étendre ou mesure à décomposer — tranche la confusion.

Une attribution trop rapide. Dire que Hahn a démontré seul en 1932 la forme associée aujourd’hui au nom de Hahn-Banach mélange les étapes. Il faut attribuer à Hahn les résultats antérieurs mentionnés dans la source, puis à Banach la démonstration et la généralisation de 1932.

Un nom présent dans plusieurs théorèmes. Le seul mot « Hahn » ne suffit pas à identifier un résultat. Il faut lire le second nom ou le qualificatif complet : Hahn-Banach, décomposition de Hahn, Hahn-Kolmogorov, Vitali-Saks-Hahn et Hahn-Mazurkiewicz ne désignent pas le même énoncé.

Une chronologie incomplète. Les années 1902, 1905 et 1921 correspondent respectivement à la thèse, à l’habilitation et à l’obtention d’une chaire à Vienne. Les employer comme dates de découverte du théorème de Hahn-Banach serait une erreur de lecture.

La fiche Banach Stefan permet de poursuivre l’histoire du théorème par le mathématicien qui le démontre et le généralise en 1932.

La fiche Mesure signée donne accès au cadre dans lequel s’inscrit le théorème de décomposition de Hahn.