AlgèbreNotion · Glossaire
Développement d'un déterminant
Le développement d'un déterminant est son calcul par expansion suivant une ligne ou une colonne. Le développement suivant la i-ème ligne s'écrit comme la somme sur j des produits de l'élément aᵢⱼ par son cofacteur Cᵢⱼ, où Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ et Mᵢⱼ est le mineur obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j. Cette formule de Laplace permet de réduire le calcul d'un déterminant n×n à n déterminants (n-1)×(n-1), et est à la base de la formule de Cramer pour la résolution des systèmes linéaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un élément de matrice à son mineur et à son cofacteur signé.
- Développer une matrice 3×3 suivant une ligne contenant un zéro.
- Contrôler le résultat −3 par une expansion suivant une autre colonne.
- Éviter les confusions de signe, les matrices non carrées et les calculs inutiles sur une ligne nulle.
En clair
Devant une grille carrée de nombres, on peut calculer son déterminant en choisissant une ligne ou une colonne. Chaque nombre choisi est associé à la petite grille qui reste quand on barre sa ligne et sa colonne.
On calcule le déterminant de chaque petite grille, puis on combine les résultats avec des signes alternés. Une ligne riche en zéros raccourcit le travail, car tout terme multiplié par zéro disparaît.
Définition
Le développement d'un déterminant, ou développement de Laplace, s'applique à une matrice carrée A d'ordre n. Si aij désigne l'élément situé sur la ligne i et la colonne j, son mineur Mij est le déterminant de la matrice d'ordre n − 1 obtenue en supprimant cette ligne et cette colonne. Le cofacteur associé est le mineur muni du signe déterminé par la position de l'élément : .
Pour développer suivant la ligne i, on additionne les produits de chaque élément de cette ligne par son cofacteur : . On peut de même choisir une colonne j et sommer les produits aijCij sur les lignes i. Toutes les lignes et toutes les colonnes donnent le même déterminant.
Les signes des cofacteurs alternent en damier, avec un signe positif en position (1, 1). Chaque développement ramène ainsi un déterminant n×n à n déterminants d'ordre n − 1. Cette réduction récursive intervient notamment dans la formule de Cramer pour résoudre un système linéaire carré lorsque son déterminant est non nul.
Un exemple, pas à pas
Calculons le déterminant d'une matrice en développant suivant sa première ligne.
Données :
La matrice A a pour lignes (2, 0, 1), (3, −1, 2) et (1, 4, 0).
Les signes de la première ligne sont successivement +, − et +.
Données :
La matrice A a pour lignes (2, 0, 1), (3, −1, 2) et (1, 4, 0).
Les signes de la première ligne sont successivement +, − et +.
1. Pour l'élément 2, on supprime la première ligne et la première colonne. Le mineur obtenu vaut
2. Pour l'élément 0, le mineur vaut
Son terme sera nul, quel que soit le signe du cofacteur.
3. Pour l'élément 1, le mineur vaut
4. On applique les signes +, −, + :
Le déterminant de A vaut donc −3.
5. Un contrôle indépendant consiste à développer suivant la deuxième colonne : le terme supérieur est nul, le terme central vaut 1 et le terme inférieur vaut −4. Leur somme redonne −3. Le schéma rassemble la ligne choisie, les trois mineurs et les signes appliqués.
En pratique
Pour calculer à la main, on choisit de préférence la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros. Dans l'exemple, la première ligne réduit immédiatement l'expansion à deux termes ; une ligne sans zéro imposerait trois produits.
Pour limiter les erreurs de signe, on repère d'abord la position de chaque élément dans le damier des cofacteurs. Une autre méthode de calcul du déterminant peut être préférable pour une grande matrice dense, car développer récursivement produit beaucoup de sous-déterminants.
Pour vérifier un résultat, on peut refaire le développement suivant une autre ligne ou colonne. Dans la matrice de l'exemple, la deuxième colonne fournit encore −3 ; un résultat différent signalerait une erreur de mineur, de signe ou d'arithmétique.
À ne pas confondre
Mineur et cofacteur. Le mineur Mij est le déterminant restant après suppression d'une ligne et d'une colonne. Le cofacteur Cij ajoute le signe (−1)i+j. En position (1, 2), un mineur égal à −2 donne donc un cofacteur égal à 2.
Déterminant et développement. Le déterminant est le nombre associé à la matrice carrée ; le développement est une méthode pour le calculer. Ainsi, −3 est le déterminant de la matrice de l'exemple, tandis que l'expansion suivant sa première ligne est le calcul qui conduit à −3.
Limites et pièges
Matrice non carrée. Le symptôme est un nombre de lignes différent du nombre de colonnes : son déterminant n'est pas défini. Il ne faut donc pas tenter un développement de Laplace sur cette matrice.
Signe oublié. Supprimer la bonne ligne et la bonne colonne ne suffit pas. Si i + j est impair, le cofacteur est l'opposé du mineur ; dans l'exemple, M12 = −2 mais C12 = 2. Il faut appliquer le damier des signes avant la somme.
Ligne ou colonne nulle. Si tous les éléments de la ligne choisie sont nuls, chaque produit aijCij est nul et le déterminant vaut 0. Il est inutile de calculer les mineurs : ce cas donne directement le résultat.
Ordre 1. Pour une matrice réduite à l'unique élément a, le déterminant vaut a. La formule reste cohérente si le déterminant de la matrice vide est conventionnellement égal à 1 ; en calcul élémentaire, on s'arrête simplement à l'ordre 1.
Pour aller plus loin
cofacteur approfondit le nombre signé associé à chaque position et son rôle dans le développement d'un déterminant.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres