AlgèbreMéthode · Glossaire
méthode de Cramer
La méthode de Cramer est une méthode algébrique de résolution des systèmes d'équations linéaires à n inconnues et n équations, lorsque le déterminant de la matrice des coefficients est non nul. Elle exprime chaque inconnue xᵢ comme le quotient de deux déterminants : au numérateur, le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la i-ème colonne de la matrice du système par le vecteur des seconds membres ; au dénominateur, le déterminant de la matrice des coefficients. Bien qu'élégante sur le plan théorique, cette méthode devient rapidement coûteuse en calcul pour les grands systèmes, car le nombre de déterminants à calculer croît avec la taille du système. Elle est due au mathématicien suisse Gabriel Cramer.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les conditions qui autorisent la méthode de Cramer.
- Former la matrice associée à chaque inconnue en remplaçant la bonne colonne.
- Calculer et contrôler la solution d’un système 2 × 2.
- Savoir pourquoi le déterminant nul et les grands systèmes appellent une autre méthode.
En clair
Deux nombres inconnus, notés x et y, doivent satisfaire à la fois 2x + y = 5 et x − y = 1. Chaque équation impose une contrainte, et il faut trouver le même couple pour les deux.
La méthode de Cramer transforme ce problème en calculs de déterminants. Elle remplace successivement une colonne de coefficients par les résultats des équations, puis compare le déterminant obtenu à celui du système initial. Le quotient donne une inconnue.
Définition
La méthode de Cramer résout un système de n équations linéaires à n inconnues. On rassemble les coefficients dans une matrice carrée notée A, les inconnues dans un vecteur noté X et les seconds membres dans un vecteur noté b. Le système s’écrit alors .
Le déterminant de A, noté Δ, doit être non nul. Pour chaque indice i compris entre 1 et n, on forme la matrice Ai en remplaçant la i-ème colonne de A par b. La i-ème composante xi du vecteur X vaut alors :
Le dénominateur commun garantit ici une solution unique. Il faut calculer le déterminant initial et un déterminant par inconnue. Cette présentation, due au mathématicien suisse Gabriel Cramer, est élégante en théorie mais devient vite coûteuse pour les grands systèmes.
Le principe
Pour un système carré de n équations à n inconnues, on note A sa matrice de coefficients et b le vecteur des seconds membres. 1. Calculez le déterminant Δ de A. 2. Si Δ = 0, arrêtez la méthode de Cramer. 3. Pour chaque indice i, remplacez la i-ème colonne de A par b afin d’obtenir Ai. 4. Calculez . Une fois les n quotients obtenus, le vecteur des inconnues est entièrement déterminé.
Quand l'utiliser
La méthode s’applique à un système linéaire carré : le nombre d’équations doit être égal au nombre d’inconnues. Les coefficients et les seconds membres doivent être connus, et le déterminant de la matrice des coefficients doit être non nul. Ces conditions sont vérifiables avant de calculer les quotients. Elles assurent que chaque division est définie et qu’un unique vecteur satisfait le système.
Considérons les inconnues x et y avec x + y = 2 et 2x + 2y = 4. Le déterminant vaut 0, car la seconde équation répète la première. La formule de Cramer bloque alors sur une division par zéro et ne décrit pas l’infinité de solutions. Une élimination de Gauss permet d’analyser ce cas, comme celui d’un système sans solution.
Un exemple, pas à pas
On cherche les deux inconnues x et y qui vérifient le système suivant :
La matrice des coefficients est A, et le vecteur des seconds membres est b :
1. Vérifier la condition. Le déterminant de A vaut . Comme −3 n’est pas nul, la méthode s’applique.
2. Calculer x. On remplace la première colonne par b.
Ainsi, x = (−6)/(−3) = 2.
3. Calculer y. On remplace la seconde colonne par b.
Ainsi, y = (−3)/(−3) = 1.
Le couple obtenu est (2 ; 1). Le contrôle se refait dans les équations initiales : 2 × 2 + 1 = 5 et 2 − 1 = 1. Les deux égalités sont vraies.
En pratique
Pour résoudre à la main un petit système carré, la méthode de Cramer est pratique lorsque les déterminants se calculent en quelques opérations. Le premier geste consiste à vérifier que le déterminant initial n’est pas nul.
Avec des coefficients littéraux, les quotients rendent visibles les valeurs qui annulent le dénominateur. Si les expressions se développent fortement, l’élimination de Gauss offre souvent des calculs plus courts.
Pour un grand système numérique, on préfère généralement une élimination ou une factorisation de la matrice. Le critère observable est le nombre de déterminants requis : n inconnues imposent n + 1 calculs de déterminants avec Cramer.
À ne pas confondre
L’élimination de Gauss. Elle transforme les équations par opérations sur les lignes, tandis que Cramer calcule des quotients de déterminants. Si le déterminant est nul, Gauss poursuit l’analyse ; Cramer s’arrête.
La matrice inverse. Pour la matrice des coefficients A, le vecteur des inconnues X et le vecteur des seconds membres b, écrire suppose aussi un déterminant non nul. Cette approche ne remplace pas une colonne pour chaque inconnue. Dans le système 2 × 2 de l’exemple, les deux méthodes donnent (2 ; 1) par des calculs différents.
Limites et pièges
Déterminant nul. Un quotient présente alors un dénominateur égal à 0. Ce blocage ne permet pas de conclure si le système n’a aucune solution ou en possède une infinité ; il faut étudier les équations, par exemple avec une élimination.
Accumulation des calculs. Un système de n inconnues demande n + 1 déterminants. Le cas 2 × 2 en demande déjà trois ; un cas à dix inconnues en demande onze. Pour une grande taille, une méthode fondée sur l’élimination ou la factorisation évite cette répétition.
Données arrondies. Dans un système mal conditionné, de petites erreurs sur les coefficients peuvent fortement modifier les quotients. Un déterminant seulement « petit » ne suffit pas à diagnostiquer ce phénomène, car sa valeur dépend de l’échelle choisie. Un solveur numérique accompagné d’une estimation du conditionnement convient mieux.
Pour aller plus loin
algèbre linéaire. Cette entrée replace matrices, vecteurs et systèmes dans le cadre auquel appartient la méthode de Cramer.
Gabriel Cramer, itinéraire d'un mathématicien genevois du XVIIIe siècle. Cet article prolonge l’attribution historique par un portrait du mathématicien.
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