Qin Jiushao

Imaginez un nombre observé par plusieurs calendriers qui ne recommencent pas au même rythme. On peut savoir qu'il laisse un reste donné lorsqu'on le divise par 3, et un autre lorsqu'on le divise par 5. Le théorème des restes chinois permet alors de retrouver une valeur commune parmi ces contraintes. Qin Jiushao en donne une formulation dans son traité publié en 1247. Son travail appartient à l'histoire des mathématiques chinoises médiévales et s'inscrit dans la tradition du Jiuzhang Suanshu.

Qin Jiushao est un mathématicien chinois qui a publié en 1247 le Shùshū Jiǔzhāng, ou Traité mathématique en neuf sections. Cet ouvrage est distinct du Jiuzhang Suanshu, le classique connu en français sous le titre Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, même s'il s'en inspire. La fiche désigne donc une personne et, par extension, une contribution historique précise à l'arithmétique.

La contribution la plus connue ici concerne une formulation du théorème des restes chinois. Pour des entiers soumis à plusieurs restes lors de divisions, ce théorème organise la recherche d'un nombre compatible avec ces contraintes. Dans un exemple où les diviseurs sont 3 et 5, la notation « x ≡ 2 (mod 3) » signifie que le nombre x laisse le reste 2 dans la division par 3. La compatibilité et la périodicité doivent être examinées avant de conclure à une solution unique dans un intervalle donné.

La source attribue à Sun Zi (IIIe-Ve siècle) la première trace de cette idée. Elle rapporte aussi que l'historien des sciences George Sarton considérait Qin Jiushao comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Cette appréciation relève de l'histoire des sciences, et non d'un critère mathématique permettant de démontrer le théorème.

On cherche un nombre x qui laisse le reste 2 lorsqu'il est divisé par 3 et le reste 3 lorsqu'il est divisé par 5. Les données sont donc : diviseur 3, reste 2 ; diviseur 5, reste 3 ; période commune 15.

Les nombres qui laissent le reste 2 dans la division par 3 sont 2, 5, 8, 11 et 14 entre 0 et 14.
Parmi eux, 8 laisse le reste 3 dans la division par 5, car 8 = 5 + 3.
La solution dans l'intervalle de 0 à 14 est donc x = 8.

Le contrôle est direct : 8 = 3 × 2 + 2 et 8 = 5 × 1 + 3. Toutes les autres solutions s'obtiennent en ajoutant 15, la période commune : elles sont congrues à 8 modulo 15. Cet exemple rend concret le type de contraintes auquel se rattache la formulation évoquée dans le traité de Qin Jiushao.

Pour comprendre la contribution de Qin Jiushao, on peut partir d'un problème de restes plutôt que d'une date. On écrit les divisions, on vérifie les restes annoncés, puis on repère la période qui ramène les solutions au même motif.

Pour présenter l'histoire du résultat, on distingue le Shùshū Jiǔzhāng publié en 1247 du Jiuzhang Suanshu dont il s'inspire. Cette alternative évite de confondre l'ouvrage de Qin Jiushao avec le classique antérieur auquel la source le compare.

Pour une première lecture, l'exemple des diviseurs 3 et 5 suffit à suivre le mécanisme. Pour approfondir le contexte historique, l'article sur le théorème des restes chinois apporte un complément consacré à la notion elle-même.

Le Shùshū Jiǔzhāng et le Jiuzhang Suanshu. Le premier est le traité publié par Qin Jiushao en 1247 ; le second est le classique dont il s'inspire. Le titre de l'ouvrage et son auteur permettent de trancher.

Une formulation et une première trace. La source présente Qin Jiushao comme l'auteur d'une formulation du théorème des restes chinois, mais attribue à Sun Zi la première trace de cette idée. Une formulation publiée et une attribution historique antérieure ne désignent donc pas le même événement.

Un piège consiste à transformer une appréciation en classement démontré. Dire que George Sarton considérait Qin Jiushao comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps rapporte un jugement historique ; cela ne constitue pas une mesure universelle de la grandeur mathématique. Il faut conserver l'attribution à Sarton.

Un autre piège consiste à appeler « théorème de Qin Jiushao » toute l'histoire du résultat. La source parle d'une formulation dans le traité de 1247 et situe une première trace chez Sun Zi, entre le IIIe et le Ve siècle. Pour une date ou une attribution, il faut donc préciser l'événement concerné au lieu de tout regrouper sous un seul nom.

Dans l'exemple numérique, 8 est la solution retenue entre 0 et 14, mais 23, 38 et tous les nombres obtenus en ajoutant 15 conviennent aussi. La valeur unique dépend donc de l'intervalle choisi ; sans cette convention, il faut parler d'une famille de solutions congrues à 8 modulo 15.

Pour approfondir le mécanisme évoqué dans cette fiche, consultez Le théorème des restes chinois. Vous y gagnerez une présentation centrée sur le résultat mathématique, tandis que cette fiche situe la formulation dans l'œuvre et dans l'histoire de Qin Jiushao.