Quin Jiu Zhao

Imaginez une suite de calculs où chaque étape réutilise le résultat précédent. Cette organisation permet d'évaluer un polynôme sans écrire séparément toutes ses puissances. Dans la fiche de Qin Jiushao, cette idée éclaire le calcul approché d'une racine de polynôme de degré 3, tandis que ses méthodes concernent aussi les racines carrées.

Qin Jiushao est présenté ici comme un gouverneur et mathématicien chinois des Song du Sud, actif vers 1200–1260. La source lui attribue des méthodes d'extraction de racines carrées et l'emploi, pour le calcul approché des racines de polynômes de degré 3, d'une méthode aujourd'hui connue sous le nom de méthode de Horner. Elle le compte aussi parmi les premiers auteurs chinois à représenter le zéro par un petit cercle.

Un polynôme de degré 3 est une expression dont la plus grande puissance de la variable est 3. La méthode de Horner réorganise son évaluation en multiplications et additions successives, ce qui évite de calculer séparément chaque puissance. Dans le cas d'une recherche de racine, cette évaluation est répétée pour des valeurs candidates afin d'obtenir une approximation ; elle ne transforme pas une approximation en égalité exacte.

Pour voir l'organisation du calcul, considérons le polynôme P(x) = x³ − 2 et la valeur x = 1. L'évaluation ordonnée montre comment une recherche approchée peut réutiliser chaque résultat intermédiaire.
Données : coefficient de x³ : 1 ; coefficient de x² : 0 ; coefficient de x : 0 ; terme constant : −2 ; valeur testée : 1.
Étape 1 : le premier coefficient reste 1.
Étape 2 : 1 × 1 + 0 = 1.
Étape 3 : 1 × 1 + 0 = 1.
Étape 4 : 1 × 1 − 2 = −1.
Le résultat est donc P(1) = −1. Le contrôle direct donne 1³ − 2 = −1 : les deux calculs concordent. Pour approcher une racine, on testerait ensuite d'autres valeurs et on examinerait le signe obtenu.

Pour évaluer rapidement un polynôme de degré 3 en une valeur donnée, on regroupe les calculs en multiplications et additions successives. Cette organisation limite les calculs de puissances séparés.

Pour chercher une racine approchée, on compare les résultats obtenus pour plusieurs valeurs candidates. Une méthode de recherche numérique plus générale peut prendre le relais lorsque l'on veut encadrer ou affiner systématiquement la racine.

Pour calculer une racine carrée, il faut employer une méthode d'extraction adaptée à cette opération. L'organisation de Horner concerne ici l'évaluation de polynômes et ne doit pas être confondue avec une règle universelle pour toutes les racines.

La méthode de Horner ne désigne pas une racine de polynôme : elle organise l'évaluation du polynôme pour une valeur choisie. Le critère qui tranche est le résultat numérique obtenu, comme P(1) = −1 dans l'exemple, et non le nom de la méthode.

Une racine carrée et une racine d'un polynôme de degré 3 ne sont pas le même objet. La première répond à une opération d'extraction carrée ; la seconde est une valeur qui annule un polynôme. Une même fiche peut évoquer les deux sans leur attribuer la même procédure.

Une valeur testée n'est pas automatiquement une racine. Dans l'exemple, P(1) = −1, donc 1 n'annule pas P ; il faut poursuivre la recherche avec d'autres valeurs candidates.

Le résultat d'un calcul approché doit être distingué d'une identité exacte. Pour une racine approchée, le signe ≈ ou une indication d'arrondi est nécessaire dès que la valeur n'est pas démontrée exactement.

Le degré 3 est une condition de la formulation historique retenue ici : elle porte sur des polynômes cubiques. On ne doit pas étendre sans précaution cette attribution à tous les degrés ni déduire de la source une date plus précise que les environs de 1200 et 1260.

Le glossaire [Qin Jiushao](/articles/glossaire-qin-jiushao) permet de prolonger la lecture avec l'entrée consacrée à la personne elle-même et de distinguer l'orthographe du titre « Quin Jiu Zhao » de la forme « Qin Jiushao » employée dans la définition source.