multiplication babylonienne

Pour calculer 12 × 8, imaginez que l'on dispose d'une table donnant les carrés des nombres. Au lieu de chercher directement ce produit, on additionne 12 et 8, puis on calcule leur différence. La table fournit alors 20² = 400 et 4² = 16.

La différence entre ces deux carrés vaut 384. En la divisant par 4, on obtient 96, qui est bien le produit de 12 par 8. Le détour transforme ainsi une multiplication en additions, soustraction, division par 4 et lectures dans une table de carrés.

La multiplication babylonienne est une technique de calcul attestée sur des tablettes d'argile cunéiformes de Mésopotamie. Elle remplace la consultation d'une table de multiplication directe par celle d'une table de carrés, complétée par des additions, une soustraction et une division par 4. La source situe le développement des mathématiques babyloniennes, dont Babylone était le centre principal, entre environ 5 000 ans avant J.-C. et la chute de Babylone en 539 avant J.-C.

Les deux nombres à multiplier sont notés a et b. Leur produit est obtenu par l'identité :

Cette égalité vient des développements (a + b)² = a² + 2ab + b² et (a − b)² = a² − 2ab + b² : leur différence vaut 4ab. La méthode s'applique lorsque les deux carrés nécessaires sont disponibles ou calculables et que la division par 4 est permise dans le domaine de nombres considéré.

Calculons 12 × 8 à partir d'une table de carrés. Le schéma rassemble les deux entrées consultées et les opérations qui conduisent au produit.

Données.
Premier facteur : a = 12.
Second facteur : b = 8.
Valeurs lues dans la table : 20² = 400 et 4² = 16.

Étape 1. Additionnons les facteurs : a + b = 12 + 8 = 20.

Étape 2. Soustrayons-les : a − b = 12 − 8 = 4.

Étape 3. Consultons les carrés correspondants, puis soustrayons-les : 20² − 4² = 400 − 16 = 384.

Étape 4. Divisons par 4 : 384 / 4 = 96. Ainsi, 12 × 8 = 96.

Contrôle. L'addition répétée donne huit groupes de 12 : 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 96. Elle confirme le produit sans réutiliser l'identité des carrés.

Avec une table de carrés à portée de main, on choisit cette technique lorsque la somme et la différence des deux facteurs figurent dans la table. Pour 12 et 8, les entrées utiles sont 20 et 4.

Pour vérifier un produit, l'identité fournit un autre chemin de calcul. On compare alors le résultat obtenu avec celui d'une multiplication directe ou d'une addition répétée ; ici, les deux chemins donnent 96.

Si les carrés nécessaires manquent dans la table, une multiplication directe peut demander moins d'opérations. Le bon critère est donc observable : la méthode est avantageuse quand les deux consultations remplacent un produit plus difficile.

Table de carrés et table de multiplication. Une table de carrés associe un nombre à son carré, tandis qu'une table de multiplication donne directement des produits. Pour 12 × 8, la méthode babylonienne consulte 20² et 4² ; elle ne recherche pas l'entrée 12 × 8.

Identité algébrique et procédure de calcul. L'identité affirme l'égalité entre deux expressions. La procédure, elle, ordonne les actions : former la somme et la différence, lire leurs carrés, soustraire, puis diviser par 4.

La division finale est indispensable. Pour 12 et 8, la différence des carrés vaut 384, et non 96. Oublier la division par 4 produit un résultat quatre fois trop grand ; il faut terminer par 384 / 4.

Une différence négative ne change pas le carré. Si le second facteur dépasse le premier, a − b est négatif, mais (a − b)² = (b − a)². On peut donc chercher dans la table le carré de la valeur positive correspondante.

La table doit couvrir les deux entrées. Le calcul de 12 × 8 exige les carrés de 20 et de 4. Si le carré de la somme manque, la consultation ne suffit plus ; il faut l'obtenir autrement ou employer une autre multiplication.

Le domaine de calcul doit autoriser le quotient. L'identité utilise une division par 4. Avec des nombres entiers, le numérateur obtenu est bien 4ab et se divise exactement ; dans une structure où diviser par 4 n'a pas de sens, cette forme n'est pas directement applicable.

Carré parfait — Relier les valeurs d'une table de carrés aux entiers dont elles sont les carrés.

Le théorème de Pythagore… avant Pythagore ! — Situer un autre résultat mathématique lié à Babylone dans l'histoire des mathématiques.