mathématiques incas

Imaginez qu’il faille administrer un vaste empire sans système d’écriture proprement dit. Pour conserver un nombre, les Incas utilisaient notamment des quipus, des ensembles de cordelettes à nœuds. La place occupée dans l’organisation décimale donnait sa valeur au chiffre, comme dans notre écriture des nombres.

Pour effectuer des calculs, des cailloux pouvaient être disposés dans les cases d’une yupana. Ces supports répondaient à des besoins économiques, démographiques et administratifs, mais les connaissances incas comprenaient aussi l’astronomie et un calendrier luni-solaire.

L’expression mathématiques incas désigne les connaissances et les pratiques mathématiques de cette civilisation précolombienne. Depuis la région de Cuzco, dans l’actuel Pérou, son empire s’est étendu sur une grande partie de l’Amérique du Sud occidentale. Cette civilisation fortement hiérarchisée a intégré les savoirs de peuples conquis. Son développement s’étend du XIII^e siècle à la conquête espagnole au XVI^e siècle.

Les quipus, dont le nom signifie « nœud » en quechua, sont les principaux témoins numériques conservés. Ces ensembles de cordelettes à nœuds représentaient des nombres, y compris de très grands, et enregistraient des données économiques, démographiques ou administratives. Leur numération est décimale et positionnelle : la contribution d’un chiffre dépend du rang qu’il occupe. Pour un nombre de quatre chiffres a, b, c et d, sa valeur s’écrit :

Les yupanas étaient des tablettes de pierre divisées en cases, où des cailloux jouaient un rôle comparable à celui des jetons d’un boulier. À ces pratiques s’ajoutaient des connaissances astronomiques permettant de prévoir solstices et équinoxes, ainsi qu’un calendrier luni-solaire. Les forteresses témoignent aussi d’une grande maîtrise architecturale, mais l’absence d’écriture proprement dite et les destructions de la conquête limitent les traces directes disponibles.

Prenons un enregistrement hypothétique de 2 304 unités. Il ne reconstitue pas la forme exacte des nœuds d’un quipu ; il illustre seulement le principe décimal de position attesté par la source.

Données :
chiffre des milliers : 2 ;
chiffre des centaines : 3 ;
chiffre des dizaines : 0 ;
chiffre des unités : 4.

1. Attribuer à chaque chiffre la valeur de son rang.
2. Calculer 2 × 1 000 = 2 000 et 3 × 100 = 300.
3. Calculer 0 × 10 = 0 et 4 × 1 = 4.
4. Additionner les quatre contributions :

Le résultat est 2 304 unités. Le contrôle consiste à relire les rangs de gauche à droite : 2 milliers, 3 centaines, aucune dizaine et 4 unités donnent bien 2 304. Le zéro conserve ici le rang des dizaines, sans ajouter de quantité.

Pour lire un nombre dans un système décimal de position, on repère d’abord les rangs, puis on multiplie chaque chiffre par 1, 10, 100, 1 000, et ainsi de suite. L’exemple de 2 304 montre ce geste sans prétendre restituer la forme précise d’un quipu historique.

Pour conserver des données économiques, démographiques ou administratives, le quipu est le support mentionné par les traces disponibles. Lorsqu’il s’agit de déplacer des cailloux dans des cases afin de calculer, la yupana est le support à considérer.

Pour situer l’année, les connaissances astronomiques permettaient de prévoir les solstices et les équinoxes, tandis que le calendrier associait des repères lunaires et solaires. La source établit ces usages, sans détailler ici leurs procédures de calcul.

Un quipu inca enregistre des nombres et des données au moyen de cordelettes à nœuds. Une yupana est une tablette à cases où l’on dispose des cailloux : le premier support conserve l’information, le second sert au calcul.

Un système décimal est fondé sur les puissances de dix ; il est positionnel lorsque la valeur d’un chiffre dépend aussi de son rang. Dans 2 304, déplacer le chiffre 3 du rang des centaines à celui des dizaines ferait passer sa contribution de 300 à 30.

Le quipu n’est pas présenté ici comme l’équivalent d’un système d’écriture complet. La source indique l’absence d’écriture proprement dite et établit que les quipus représentaient des nombres et enregistraient des données.

Les traces sont incomplètes. L’absence d’écriture proprement dite laisse peu de témoignages directs, et les destructions ainsi que les pillages de la conquête espagnole ont accru ces lacunes. Il faut donc distinguer ce que les vestiges attestent de ce qu’ils ne permettent pas de reconstituer.

Inca ne signifie pas nécessairement inventé par les Incas. Le système décimal de position est hérité de civilisations andines antérieures. Des exemples, dont le quipu du site de Caral, remonteraient au troisième millénaire avant J.-C. ; cette ancienneté précède l’Empire inca.

Le schéma 2 304 n’est pas un fac-similé. Il vérifie une décomposition décimale, mais ne fixe ni la forme des nœuds ni les conventions matérielles d’un quipu particulier. Pour interpréter un vestige réel, il faut conserver les conventions établies pour cet objet.

Un calendrier luni-solaire n’est pas un calendrier uniquement lunaire. Le terme indique que les repères de la Lune et du Soleil interviennent ensemble. La source atteste ce calendrier et la prévision des solstices et équinoxes, sans fournir le détail de leurs règles.

La fiche quipu inca approfondit le support à cordelettes qui conservait nombres et données dans l’administration de l’empire.

Le glossaire calendrier luni-solaire précise comment des repères lunaires et solaires peuvent être articulés dans un même calendrier.