mathématiques aztèques

Imaginez une année découpée en dix-huit groupes de vingt jours, puis complétée par cinq jours. Le compte donne 365 jours. Ce regroupement par vingt reflète une idée centrale des mathématiques aztèques : organiser les nombres en base 20 pour administrer des terres, des superficies et des impôts.

À ce calendrier solaire s'ajoutait un cycle rituel de 260 jours. Les deux cycles se retrouvaient dans la même configuration après 52 années solaires, formant un calendrier circulaire.

Les mathématiques aztèques désignent ici les pratiques numériques et calendaires de la civilisation mexica. Originaire du nord du Mexique, cette civilisation s'est sédentarisée dans la région de l'actuel Mexico vers le XIII^e siècle. Son empire a été interrompu par la conquête espagnole au XVI^e siècle et par l'exécution de son dernier souverain en 1524.

Le système arithmétique présenté par les sources est une numération de position en base 20, ou numération vigésimale, comparable sur ce principe à celle des Mayas. Une position correspond à une puissance de 20 : dans une écriture à deux positions, 1 dans la position des vingtaines et 5 dans celle des unités donnent 1 × 20 + 5 = 25. Cette organisation rend possible l'enregistrement de cadastres, de superficies agricoles et d'impôts, des calculs importants pour la vie sociale et économique. Les informations conservées proviennent notamment du Codex Vergara et du Codex Xolotl. Elles restent partielles, car les envahisseurs et le clergé espagnol ont détruit de nombreux documents.

Le système calendaire associe deux cycles. L'année solaire comprend dix-huit mois de vingt jours et cinq jours supplémentaires, soit 365 jours. Le calendrier rituel dure 260 jours. Leur combinaison retrouve son point de départ commun après 52 années solaires et forme le calendrier circulaire, souvent représenté par un disque lapidaire. L'écriture qui porte ces informations emploie des logogrammes et des glyphes ; elle ne se réduit donc pas au simple système pictural imaginé par les conquistadores.

Prenons les deux cycles calendaires décrits par la source. Les données sont les suivantes : dix-huit mois solaires ; vingt jours par mois ; cinq jours supplémentaires ; un cycle rituel de 260 jours.

1. Multipliez le nombre de mois par le nombre de jours de chaque mois : 18 × 20 = 360 jours.

2. Ajoutez les cinq jours supplémentaires : 360 + 5 = 365 jours pour une année solaire.

3. Décomposez les deux durées : 365 = 5 × 73 et 260 = 4 × 5 × 13. Pour former leur plus petit multiple commun, gardez une seule fois le facteur 5 commun, puis tous les autres facteurs : 4 × 5 × 13 × 73 = 18 980 jours.

4. Contrôlez le résultat des deux côtés : 52 × 365 = 18 980 et 73 × 260 = 18 980. Les deux cycles reviennent donc ensemble à leur départ après 52 années solaires, soit 73 cycles rituels.

Dans les cadastres, la numération servait à consigner les propriétés agricoles et leur superficie. Le calcul adapté était alors celui des quantités et des surfaces, plutôt qu'un repérage calendaire.

Pour établir les impôts, les données cadastrales devenaient des éléments de calcul administratif. Le recours à la base 20 structurait les nombres employés dans cette organisation sociale et économique.

Pour situer un jour, il fallait distinguer le cycle solaire de 365 jours du cycle rituel de 260 jours. La concordance des deux repères, et non l'un d'eux isolément, caractérise le retour de 52 ans.

Mathématiques aztèques et mathématiques mayas. Les deux traditions sont comparables par leur base 20 et par le principe de leurs calendriers, mais elles appartiennent à des civilisations distinctes. Un codex mexica comme le Codex Vergara relève ici du contexte aztèque.

Calendrier solaire et calendrier rituel. Le premier totalise 365 jours, avec dix-huit mois de vingt jours et cinq jours supplémentaires. Le second dure 260 jours. Un décompte de 260 jours relève donc du cycle rituel, pas de l'année solaire.

Glyphes et simples images. L'écriture aztèque combine logogrammes et glyphes. La présence de figures ne suffit pas à en faire un système purement pictural, contrairement à la première interprétation des conquistadores.

Des sources incomplètes. La destruction d'une grande partie des documents limite ce que l'on peut reconstituer. Il faut appuyer l'étude sur les codex survivants, notamment les Codex Vergara et Xolotl, sans leur faire décrire toutes les pratiques disparues.

Deux cycles, un retour commun. Les 52 ans ne constituent pas la durée du calendrier rituel. Ils indiquent le premier retour simultané des cycles de 365 et 260 jours : 18 980 jours dans les deux décomptes.

Une base n'est pas une valeur. La base 20 décrit la manière d'organiser les positions numériques. Elle ne signifie pas que seules des quantités multiples de 20 peuvent être écrites : les cinq jours supplémentaires du calendrier fournissent précisément un reste non multiple de 20.

La fiche numération vigésimale approfondit le fonctionnement d'une base construite par groupes de vingt.

La fiche calendrier replace les cycles solaire et rituel dans la notion générale d'organisation du temps.