mathématiques précolombiennes

Imaginez qu'il faille compter des récoltes, organiser un calendrier ou enregistrer un impôt sans employer nos chiffres habituels. Avant l'arrivée des Européens, plusieurs civilisations d'Amérique avaient construit leurs propres réponses mathématiques à ces besoins.

Les Mayas et les Aztèques comptaient par groupes de vingt, mais la numération aztèque classique n'était pas positionnelle comme celle des Mayas. Les Mayas disposaient aussi d'un zéro explicite. Certains quipus incas dont l'usage numérique est documenté enregistraient des nombres décimaux par la position de nœuds sur des cordelettes.

Les mathématiques précolombiennes regroupent les savoirs et les pratiques mathématiques élaborés par les civilisations amérindiennes avant l'arrivée des Européens en Amérique. Elles se sont développées indépendamment des traditions de l'Ancien Monde. Elles comprennent des systèmes de numération, des outils de calcul, des calendriers et des connaissances astronomiques. Ces instruments répondaient notamment à des besoins administratifs, agronomiques et rituels.

Le terme couvre plusieurs traditions, et non un système unique. Chez les Mayas, la numération est positionnelle, en base 20, et possède un zéro explicite. Les Aztèques emploient également une base 20, mais leur numération classique est principalement additive et multiplicative, et non positionnelle comme celle des Mayas ; ils effectuent notamment des calculs cadastraux et fiscaux. Dans certains quipus incas dont l'encodage numérique est documenté, la position des nœuds représente des valeurs décimales ; cette description ne résume pas tous les usages des quipus.

Dans une numération positionnelle, la base indique la valeur d'un changement de position : de droite à gauche, la position immédiatement suivante vaut vingt fois la précédente en base 20, et dix fois la précédente en base 10. Cette différence interdit de réduire toutes les mathématiques précolombiennes à une seule manière d'écrire ou de calculer.

Prenons un nombre dans un système positionnel en base 20, comme celui des Mayas. Les données sont deux positions, un chiffre 2 dans la position des vingtaines et un zéro explicite dans la position des unités. Cet exemple abstrait montre la valeur des positions, sans reproduire les signes graphiques mayas.

1. La position des vingtaines donne deux groupes de vingt : 2 × 20 = 40.
2. La position des unités porte zéro unité : 0 × 1 = 0.
3. On additionne les deux contributions : 40 + 0 = 40.

Le nombre représenté vaut donc 40. Le zéro est décisif : il signale que la position des unités est vide, tandis que le 2 reste attaché à la position valant vingt.

Le contrôle consiste à regrouper 40 objets par paquets de vingt. On obtient exactement deux paquets et aucun objet isolé, ce qui retrouve les deux données de départ.

Pour lire une quantité maya écrite dans une numération positionnelle en base 20, on repère d'abord la valeur de chaque position, puis on additionne ses contributions. Cette méthode ne s'applique pas telle quelle à la numération aztèque classique, principalement additive et multiplicative. Une conversion en base 10 est préférable lorsqu'il faut comparer directement la quantité maya à notre écriture décimale.

Pour étudier une donnée numérique encodée sur un quipu inca, on examine le support matériel : dans les cas documentés, la position des nœuds peut porter une information numérique décimale. Ce mode d'encodage ne caractérise pas à lui seul tous les quipus ni tous leurs usages. Une grille de chiffres écrits ne convient pas, car la donnée étudiée est enregistrée sur un objet matériel.

Pour relier un calcul à son contexte, on identifie enfin le besoin concerné. Un registre fiscal ou cadastral appelle une lecture administrative ; un calendrier ou une observation astronomique demande d'examiner l'organisation du temps.

Les mathématiques précolombiennes ne se confondent pas avec les seules mathématiques mayas. La présence d'une numération positionnelle en base 20 avec zéro explicite caractérise ici la tradition maya ; un quipu décimal oriente au contraire vers la tradition inca.

Un calendrier ou un savoir astronomique n'est pas, à lui seul, le nom de l'ensemble étudié. Les mathématiques précolombiennes englobent aussi les numérations, les outils de calcul et les usages administratifs, agronomiques ou rituels.

Le principal piège consiste à parler d'une « numération précolombienne » unique. Il faut distinguer trois aspects : la numération maya est positionnelle en base 20 ; la numération aztèque classique, également en base 20, est principalement additive et multiplicative ; dans certains quipus incas à usage numérique documenté, la position des nœuds représente des valeurs décimales. La base, l'organisation des signes et le support matériel ne sont donc pas des catégories interchangeables.

La présence d'un zéro explicite ne doit pas être étendue automatiquement à toutes les traditions citées. La définition source l'attribue au système maya. Pour les Aztèques, elle établit la base 20 ; pour les Incas, elle décrit un encodage décimal sur quipus.

L'écriture 2 puis 0 de l'exemple explique une valeur de position, mais elle ne reproduit pas un graphisme historique. Il faut séparer la valeur calculée, qui est 40, de la forme matérielle ou graphique employée pour l'enregistrer.

Les mathématiques mayas approfondissent la numération positionnelle en base 20 et le rôle du zéro explicite.

Les mathématiques aztèques prolongent l'étude de la numération classique en base 20, principalement additive et multiplicative, et de ses usages cadastraux et fiscaux documentés.

Les mathématiques incas montrent comment certains quipus à usage numérique documenté encodent des valeurs décimales par la position des nœuds.