AnalyseReprésentation graphique · Glossaire
Courbe des fréquences cumulées
La courbe des fréquences cumulées (ou ogive) est la représentation graphique de la fonction de répartition empirique d'une série statistique. Elle représente, en abscisse, les valeurs de la variable, et en ordonnée, la fréquence cumulée, c'est-à-dire la proportion d'observations inférieures ou égales à cette valeur. Elle permet de lire directement les quantiles (médiane, quartiles, percentiles) de la distribution. Son allure est croissante, de 0 à 1 (ou de 0% à 100%).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier chaque abscisse à la proportion d'observations inférieures ou égales.
- Construire le tracé en escalier d'une série de dix scores.
- Lire et contrôler le premier quartile, la médiane et le troisième quartile.
- Distinguer une courbe cumulée d'un histogramme et d'une fonction de répartition théorique.
En clair
Imaginez dix scores rangés du plus petit au plus grand. À chaque score, on compte la part des résultats qui ne le dépassent pas. Cette part augmente à mesure que l'on avance vers la droite : elle ne peut jamais redescendre.
La courbe des fréquences cumulées trace cette progression. Une hauteur de 70 % au score 13 signifie que 70 % des scores sont inférieurs ou égaux à 13. En cherchant la hauteur 50 %, on repère la médiane ; avec 25 % et 75 %, on repère les quartiles.
Définition
La courbe des fréquences cumulées représente la fonction de répartition empirique d'une série quantitative. Pour une valeur donnée x, sa hauteur est la proportion des observations inférieures ou égales à x. Si n désigne l'effectif total, cette fréquence se calcule par , où xi désigne la valeur de la ie observation.
Pour des valeurs individuelles, le tracé exact est une fonction en escalier : chaque observation crée un saut de hauteur 1/n, ou un saut plus grand lorsque plusieurs observations sont égales. La courbe est croissante, vaut 0 avant la plus petite valeur et atteint 1 à partir de la plus grande. L'ordonnée peut aussi être graduée de 0 % à 100 %.
Pour un niveau p strictement supérieur à 0 et inférieur ou égal à 1, un quantile se lit comme la plus petite valeur dont la fréquence cumulée atteint ou dépasse p. Pour des données regroupées en classes, l'ogive relie souvent les fréquences cumulées aux bornes supérieures des classes. Ce tracé polygonal suggère alors une interpolation à l'intérieur des classes, qui n'est pas une observation exacte de la série brute.
Où on le rencontre
On rencontre cette courbe dans les bilans de notes, de durées, de tailles ou de toute autre variable quantitative. Le graphique possède un axe horizontal gradué dans l'unité de la variable et un axe vertical allant de 0 à 1, ou de 0 % à 100 %. Son tracé monte de gauche à droite, par marches pour des données individuelles ou par segments pour des données regroupées en classes.
Les repères 25 %, 50 % et 75 % signalent souvent la lecture des quartiles et de la médiane. Le support indique ainsi, pour chaque seuil horizontal, quelle part de l'effectif se trouve à ce seuil ou en dessous.
Le mode d'emploi
La grandeur lue est une proportion cumulée. La convention essentielle est le sens « inférieur ou égal » : le point de la courbe situé à l'abscisse x compte toutes les observations qui ne dépassent pas x.
1. Pour connaître la part située sous un seuil, partez de la valeur sur l'axe horizontal, montez jusqu'à la courbe, puis lisez la fréquence sur l'axe vertical. 2. Pour trouver un quantile, partez au contraire du niveau voulu sur l'axe vertical, allez jusqu'à la courbe, puis redescendez vers l'axe horizontal.
3. Au niveau 50 %, retenez la première abscisse où la courbe atteint ou dépasse ce niveau. 4. Contrôlez enfin que l'axe vertical utilise bien des proportions ou des pourcentages et que le tracé se termine à 1 ou 100 %.
Une longue portion horizontale peut sembler représenter beaucoup de données. Elle signifie au contraire qu'aucune observation nouvelle ne tombe dans cet intervalle. La courbe en escalier de l'exemple rend visibles les sauts et les lectures de 25 %, 50 % et 75 %.
Un exemple, pas à pas
Une classe obtient dix scores, déjà rangés : 8, 10, 10, 12, 13, 13, 13, 15, 17 et 20. L'effectif total est donc 10. On veut construire la courbe, puis lire le premier quartile, la médiane et le troisième quartile.
1. Au seuil 8, un score sur dix est inférieur ou égal à 8 : la fréquence cumulée vaut 1/10 = 10 %.
2. Aux seuils successifs 10, 12, 13, 15, 17 et 20, les effectifs cumulés sont 3, 4, 7, 8, 9 et 10. Les fréquences correspondantes sont 30 %, 40 %, 70 %, 80 %, 90 % et 100 %.
3. On place ces points, puis on trace des marches horizontales reliées par des sauts verticaux. Le saut de 40 % à 70 % en 13 traduit les trois scores égaux à 13.
4. La première valeur atteignant au moins 25 % est 10 : le premier quartile vaut 10. Pour 50 %, la première valeur convient à 13 : la médiane vaut 13. Pour 75 %, on obtient 15 : le troisième quartile vaut 15.
5. Le contrôle est direct : 3 scores sur 10 ne dépassent pas 10, 7 sur 10 ne dépassent pas 13 et 8 sur 10 ne dépassent pas 15. Les niveaux 25 %, 50 % et 75 % sont donc bien atteints pour la première fois aux valeurs annoncées.
En pratique
Pour répondre à « quelle proportion ne dépasse pas 13 ? », la courbe cumulée donne une lecture directe : on part de 13 et on relève 70 %. Un histogramme convient mieux si la question porte sur la concentration des observations dans chaque intervalle.
Pour comparer deux groupes, on peut superposer leurs courbes avec la même échelle. À un niveau donné, la courbe située le plus à gauche atteint ce quantile avec une valeur plus faible. Si l'objectif est seulement de comparer quelques nombres résumés, une boîte à moustaches est plus compacte.
Pour fixer un seuil couvrant une proportion choisie, on part du pourcentage visé et on lit l'abscisse correspondante. Ce geste sert, par exemple, à repérer un percentile. Si la valeur exacte de chaque observation doit rester visible, la série ordonnée est préférable au graphique seul.
À ne pas confondre
Avec un histogramme. Un histogramme montre une fréquence par intervalle ; ses hauteurs peuvent monter ou descendre. La courbe cumulée additionne progressivement ces fréquences et ne décroît jamais. Pour compter les scores strictement supérieurs à 10 et inférieurs ou égaux à 13, l'histogramme décrit directement l'intervalle, tandis que la courbe exige de soustraire la fréquence cumulée en 10 à celle en 13.
Avec un polygone des fréquences. Ce polygone relie les fréquences propres à chaque valeur ou classe, sans les additionner. Si le dernier point ne vaut pas nécessairement 100 %, il ne s'agit pas d'une courbe des fréquences cumulées.
Avec une fonction de répartition théorique. La courbe empirique est calculée sur les observations disponibles et comporte des sauts de taille liée à l'effectif. Une fonction théorique décrit une loi de probabilité : pour une loi continue, elle peut être lisse. Les deux ont la même lecture « inférieur ou égal », mais pas la même origine.
Limites et pièges
Données regroupées. Une ogive tracée à partir de classes ne révèle pas la position des observations à l'intérieur de chaque classe. Une lecture entre deux bornes est une interpolation. Il faut revenir aux données brutes si une valeur exacte est nécessaire.
Sauts et plateaux. Dans l'exemple, le saut de 40 % à 70 % au score 13 signale trois valeurs égales, tandis qu'un plateau signale l'absence de valeur nouvelle. Il ne faut donc pas interpréter la longueur horizontale comme un effectif important.
Quantile sur un saut. Plusieurs conventions de calcul des quantiles existent. La lecture adoptée ici retient la plus petite valeur dont la fréquence cumulée atteint ou dépasse le niveau p. Un logiciel utilisant une interpolation peut afficher un autre résultat ; sa convention doit être vérifiée.
Échelle verticale. Les graduations 0,5 et 50 % désignent le même niveau, mais 0,5 % vaut seulement 0,005. Avant toute lecture, il faut identifier si l'axe va de 0 à 1 ou de 0 % à 100 %. Une courbe qui baisse révèle une erreur de cumul, de tri ou de tracé.
Pour aller plus loin
fonction de répartition — Pour replacer la courbe empirique dans le cadre général des probabilités et approfondir la lecture « inférieur ou égal ».
quartile — Pour préciser le découpage d'une série ordonnée en quatre parts et les conventions de calcul associées.
percentile — Pour généraliser la lecture des seuils cumulés à cent niveaux et interpréter un rang relatif.
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