quantile

Rangeons neuf durées de la plus courte à la plus longue : 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 15 et 20 minutes. Un quantile indique où couper cette file pour situer une proportion choisie des observations.

La médiane est le quantile qui vise la moitié de la série. Les quartiles visent les quarts, les déciles les dixièmes et les centiles les centièmes. Si la coupure tombe entre deux valeurs, la convention de la fiche les interpole.

Un quantile d'ordre p situe un niveau dans une série quantitative ordonnée, où p est un nombre strictement compris entre 0 et 1. Avec n observations notées x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n, la convention d'interpolation retenue ici attribue au quantile le rang généralisé $R=1+p(n-1)R=1+p(n-1)$.

Si R est entier, le quantile est l'observation x_R. Sinon, r désigne la partie entière de R et la valeur cherchée est interpolée entre les rangs r et r + 1 : $x_R=x_r+(R-r)(x_{r+1}-x_r)x\_R=x\_r+(R-r)(x\_\{r+1\}-x\_r)$. Les q − 1 fractiles d'ordres p/q, où p varie de 1 à q − 1, fournissent les coupures qui visent q groupes de même effectif ; si l'effectif n'est pas divisible par q, la convention de rang précise leur position interpolée. Le fractile numéro p a pour rang $R=1+\frac{p(n-1)}{q}R=1+\backslash frac\{p(n-1)\}\{q\}$. La médiane correspond à q = 2 ; les quartiles à q = 4, les déciles à q = 10 et les centiles à q = 100.

Pour une variable aléatoire continue dont la fonction de répartition F_X est strictement croissante, le quantile d'ordre p est l'unique nombre x_p tel que F_X(x_p) = p. Il s'écrit $x_p=F_X^{-1}(p)x\_p=F\_X^\{-1\}(p)$. Cette définition par l'inverse concerne une loi ; le calcul par rangs concerne une série finie selon la convention annoncée.

Cherchons le quantile d'ordre 0,30 des neuf durées ordonnées 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 15 et 20 minutes. Les données sont p = 0,30, n = 9, x₃ = 5 minutes et x₄ = 7 minutes.

1. Calculons le rang généralisé : R = 1 + 0,30 × (9 − 1) = 3,4. La coupure se trouve donc entre les troisième et quatrième valeurs.

2. La partie entière de 3,4 est r = 3. La fraction restante vaut R − r = 0,4 : on parcourt 40 % de l'écart entre 5 et 7 minutes. La figure matérialise ce partage sur le segment des deux valeurs.

3. Interpolons : x_3,4 = 5 + 0,4 × (7 − 5) = 5,8 minutes. Avec cette convention, le quantile d'ordre 0,30 vaut donc 5,8 minutes.

4. Contrôlons le calcul : 5,8 est bien entre 5 et 7, à 0,8 minute de 5. Or 0,8/2 = 0,4, exactement la fraction du segment imposée par le rang 3,4.

Pour situer une observation dans une série, comparez-la à un quantile choisi. Dans les neuf durées, 5,8 minutes est le seuil d'ordre 0,30 selon la convention retenue. Si l'objectif porte sur le centre plutôt que sur une proportion particulière, la médiane est le repère naturel.

Pour résumer la dispersion sans suivre toutes les valeurs, calculez les premier et troisième quartiles. Dans la même série, leurs rangs sont 3 et 7, donc Q₁ = 5 minutes et Q₃ = 13 minutes. Si les valeurs extrêmes doivent compter pleinement, une mesure fondée sur toute la série complète ce résumé.

Pour une loi continue à fonction de répartition strictement croissante, cherchez l'antécédent de p par F_X. Si la fonction n'est pas strictement croissante, l'inverse ordinaire n'est plus le bon outil ; il faut employer une définition généralisée du quantile.

Quantile et moyenne. Un quantile vient de la position des valeurs une fois celles-ci ordonnées ; la moyenne vient de leur somme divisée par leur nombre. Pour 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 15 et 20, la médiane vaut 8 minutes, tandis que la moyenne vaut 84/9, soit environ 9,33 minutes.

Ordre du quantile et valeur du quantile. L'ordre p est une proportion sans unité ; le quantile x_p a la même unité que les données. Dans l'exemple, 0,30 est l'ordre, alors que 5,8 minutes est la valeur obtenue.

Convention de calcul. Pour une série finie, plusieurs règles de rang et d'interpolation coexistent. Deux logiciels peuvent donc rendre des valeurs différentes, surtout avec peu d'observations. Il faut annoncer la convention ; celle de cette fiche utilise R = 1 + p(n − 1).

Valeurs répétées. Une coupure peut traverser plusieurs observations égales. Le quantile reste une valeur, mais il ne sépare alors pas nécessairement la liste en groupes strictement distincts. Il faut compter les effectifs cumulés plutôt que chercher une rupture visible.

Fonction de répartition avec palier ou saut. Sans stricte croissance ni continuité, l'équation F_X(x) = p peut ne pas avoir une solution unique, voire aucune solution. L'écriture F_X⁻¹(p) comme inverse ordinaire devient alors trompeuse ; une convention usuelle consiste à prendre la plus petite valeur x telle que F_X(x) ≥ p.

Ordres extrêmes. La formule de la fiche demande 0 < p < 1. Aux bornes p = 0 et p = 1, le rang vaut respectivement 1 et n, mais leur interprétation comme minimum et maximum doit être annoncée comme une extension de convention.

quartile — Approfondir les trois coupures qui partagent une série ordonnée en quatre groupes.

fonction de répartition — Relier une probabilité cumulée p à la recherche de son quantile dans une loi.

écart interquartile — Mesurer l'étendue des 50 % centraux à partir du premier et du troisième quartile.