Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
percentile
Dans une série statistique quantitative ordonnée, les centiles — également appelés percentiles — sont des indicateurs de position. Ils constituent un cas particulier de quantiles, au même titre que les déciles, mais repèrent des niveaux cumulés en centièmes au lieu de dixièmes. Un centile est ainsi calculé en tant que 100-quantile. L’image d’un découpage en 100 parties d’effectifs égaux est idéale : dans une série finie ou avec des ex æquo, les seuils dépendent d’une convention de rang ou d’interpolation. Les correspondances avec les déciles supposent que les deux familles utilisent la même convention de quantile.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire un percentile comme un seuil de fréquence cumulée dans une série ordonnée.
- Refaire le calcul de P75 sur vingt observations avec une convention explicite.
- Relier percentiles, quantiles et déciles sans les confondre avec un pourcentage.
- Reconnaître les écarts dus aux petits effectifs, aux ex æquo et à l’interpolation.
En clair
Vingt temps d’attente sont rangés du plus court au plus long. Pour repérer le seuil des trois quarts, on avance jusqu’au 15e temps : quinze observations sur vingt, soit 75 %, ne dépassent pas cette valeur. Si ce temps vaut 72 minutes, alors 72 minutes est le 75e percentile de la série.
Un percentile, ou centile, est donc un seuil de position. Les percentiles jalonnent une série ordonnée comme si l’on voulait répartir son effectif en 100 parts, de la plus petite à la plus grande valeur.
Définition
Un percentile, aussi appelé centile, est un quantile d’une série statistique quantitative ordonnée. Considérons n observations, notées x1, x2, …, xn, rangées par ordre croissant. Pour un entier k compris entre 1 et 99, le ke percentile, noté Pk, est un seuil dont la fréquence cumulée atteint k/100. Dans la convention empirique retenue ici, Pk est la plus petite valeur pour laquelle au moins k % des observations sont inférieures ou égales à ce seuil.
La fonction de répartition empirique Fn associe à chaque valeur x la proportion des observations qui lui sont inférieures ou égales. La définition s’écrit . Cette écriture reste valable lorsque plusieurs observations sont égales.
Les percentiles sont ainsi des cas particuliers de quantiles. Les déciles n’emploient que dix parts : pour un rang j compris entre 1 et 9, le je décile Dj coïncide avec P10j. Dans une série finie, le partage en 100 effectifs exactement égaux n’est pas toujours réalisable ; une règle de rang ou d’interpolation doit alors être annoncée.
Un exemple, pas à pas
Un service relève vingt temps d’attente, en minutes. Données : 42, 45, 47, 50, 52, 54, 55, 57, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 75, 78, 81, 85 et 90. La série est déjà rangée par ordre croissant. On cherche son 75e percentile selon la convention du plus petit seuil cumulant au moins 75 % des observations.
1. L’effectif total est n = 20 et le niveau demandé est k = 75.
2. Le rang recherché est le plus petit entier supérieur ou égal à 75/100 × 20 : .
3. La 15e valeur de la liste ordonnée est 72. On obtient donc P75 = 72 minutes.
4. Le contrôle se refait en comptant : 15 valeurs sur 20 sont inférieures ou égales à 72 minutes, donc 15/20 = 0,75. Les 5 autres, soit 25 %, lui sont supérieures. La répartition des vingt observations rend ce contrôle visible sans modifier l’échelle des temps.
En pratique
Pour fixer un seuil à partir de durées observées, on ordonne les mesures puis on choisit le percentile correspondant à la part que l’on veut couvrir. Si l’objectif est seulement de décrire une durée centrale, la médiane est plus directe.
Pour situer un résultat dans un groupe, on compare sa valeur aux percentiles de la même série. Le percentile convient à une position relative ; un pourcentage convient plutôt à une part rapportée à un total connu.
Pour résumer une distribution, quelques quartiles ou déciles donnent des repères compacts. Les percentiles deviennent utiles lorsqu’un seuil plus fin est nécessaire, à condition de conserver la même convention de calcul d’une série à l’autre.
À ne pas confondre
Pourcentage. Un pourcentage exprime une part d’un total, tandis qu’un percentile désigne une position dans une série ordonnée. Obtenir 72 points sur 100 donne 72 % ; être au 72e percentile dépend des résultats de tout le groupe.
Quantile. Le quantile est la famille générale ; le percentile en est le cas fondé sur 100 parts. Un quartile est donc un quantile, mais ce nom ne précise pas un rang centésimal.
Décile. Un décile découpe l’effectif en 10 parts, contre 100 pour un percentile. Avec une même convention de calcul, le 7e décile D7 est ainsi le même seuil que le 70e percentile P70, pas que P7.
Limites et pièges
Petit effectif. Avec 20 observations, chaque rang représente 5 % de l’effectif : il est impossible de former 100 groupes contenant chacun exactement 1 %. Plusieurs percentiles désignent alors la même observation. Il faut annoncer la règle de rang retenue.
Valeurs ex æquo. Si plusieurs observations sont égales au seuil, la fréquence cumulée peut franchir d’un coup le niveau visé. Le symptôme est qu’un même nombre sert à plusieurs percentiles. Il faut donner la proportion cumulée réelle au lieu d’affirmer que les groupes sont strictement séparés.
Conventions de calcul. Une méthode peut sélectionner une valeur observée, comme P75 = 72 minutes dans l’exemple, tandis qu’une autre interpole entre deux rangs. Des résultats différents ne signalent donc pas forcément une erreur. Pour comparer deux calculs, il faut vérifier la formule ou le réglage du logiciel.
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