Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
décile
En statistique descriptive, les déciles sont des indicateurs de position qui permettent de résumer la distribution d'une série quantitative. Après avoir ordonné les données par valeurs croissantes, ils peuvent partager la population en dix groupes d'effectifs égaux lorsque les données et la convention de calcul le permettent ; avec un petit effectif ou des valeurs répétées, ces groupes peuvent ne pas avoir exactement le même effectif. Le premier décile D1 est le seuil correspondant conventionnellement à 10 % des données ; le neuvième décile D9 est le seuil correspondant conventionnellement à 90 % des données. Avec une convention de calcul compatible, la médiane correspond au cinquième décile D5 ; une convention par rang entier peut toutefois donner la médiane inférieure lorsque l'effectif est pair. Par extension, le terme « décile » désigne parfois l'ensemble des données comprises entre deux déciles consécutifs, c'est-à-dire l'une des dix tranches de la distribution. L'écart interdécile D9 − D1 mesure la dispersion de la partie centrale de la distribution en excluant les 10 % inférieurs et supérieurs. Lorsque D1 est strictement positif, le rapport interdécile D9/D1 est un indicateur d'inégalité très utilisé en économie, notamment pour comparer les salaires ou les revenus d'une population : il donne le facteur multiplicatif entre le revenu seuil des 10 % les plus riches et celui des 10 % les plus pauvres. Si D1 vaut 0, ce rapport n'est pas défini ; si D1 est négatif, son interprétation comme facteur d'inégalité perd son sens. Les boîtes à moustaches standard utilisent généralement les quartiles Q1 et Q3 ; D1 et D9 apparaissent seulement dans certaines variantes. La notion est également utilisée dans le calcul de moyennes élaguées, qui excluent les valeurs extrêmes afin de réduire l'influence des données aberrantes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer D1, D5 et D9 dans une série quantitative ordonnée.
- Calculer les trois déciles avec une convention de rang explicitée.
- Interpréter l'écart et le rapport interdéciles sans masquer leurs limites.
- Distinguer décile, quartile et percentile.
En clair
Imaginez des revenus mensuels rangés du plus faible au plus élevé. Deux seuils permettent de repérer rapidement le bas et le haut de cette liste : D1 correspond conventionnellement au seuil associé aux 10 % de données cumulées, tandis que D9 correspond à celui associé aux 90 %. Dans une série discrète, leur position exacte dépend de la convention de calcul. Entre les deux se trouve la partie centrale de la distribution.
Les déciles jouent ainsi le rôle de bornes sur une série ordonnée. Ils indiquent une position, non une somme ni une moyenne. Le cinquième seuil, D5, repère le milieu de la série : il correspond à la médiane avec une convention compatible, tandis qu'une convention par rang entier peut retenir la médiane inférieure lorsque l'effectif est pair.
Définition
Dans une série quantitative ordonnée par valeurs croissantes, les déciles sont neuf seuils de position, qui peuvent être des valeurs observées ou des nombres interpolés selon la convention de calcul. Ils repèrent conventionnellement les limites de dix groupes d'effectifs aussi égaux que les données le permettent, sans que chaque proportion soit nécessairement réalisée exactement dans une série discrète. Pour un entier k allant de 1 à 9, le k-ième décile est noté Dk. Le premier décile D1 marque le seuil associé conventionnellement aux 10 % de valeurs les plus faibles ; D9 marque celui associé conventionnellement à 90 % des valeurs. Avec une convention de calcul compatible, le cinquième décile D5 correspond à la médiane ; une convention par rang entier peut toutefois donner la médiane inférieure lorsque l'effectif est pair. Le mot « décile » peut aussi désigner l'une des dix tranches comprises entre deux seuils consécutifs.
L'écart interdécile est la différence entre le neuvième et le premier seuil : . Il décrit l'étendue de la partie centrale en laissant de côté les 10 % inférieurs et les 10 % supérieurs. Le rapport interdécile compare ces mêmes seuils : . Lorsque D1 est positif, ce rapport donne le facteur multiplicatif entre le seuil d'entrée des 10 % les plus élevés et celui des 10 % les plus faibles.
Un exemple, pas à pas
Une petite population présente onze revenus mensuels, déjà rangés par ordre croissant.
Effectif : 11 personnes.
Revenus, en euros : 1 000 ; 1 100 ; 1 200 ; 1 300 ; 1 400 ; 1 500 ; 1 600 ; 1 700 ; 1 800 ; 1 900 ; 2 000.
Convention : le rang retenu est le plus petit entier supérieur ou égal au produit de l'effectif par la proportion cherchée.
Effectif : 11 personnes.
Revenus, en euros : 1 000 ; 1 100 ; 1 200 ; 1 300 ; 1 400 ; 1 500 ; 1 600 ; 1 700 ; 1 800 ; 1 900 ; 2 000.
Convention : le rang retenu est le plus petit entier supérieur ou égal au produit de l'effectif par la proportion cherchée.
1. Déterminer les rangs. Si n désigne l'effectif et k le numéro du décile, le rang est .
2. Calculer D1. Le rang vaut l'entier supérieur à 1 × 11 / 10, soit 2. La deuxième valeur est 1 100 €, donc D1 = 1 100 €.
3. Calculer D5 et D9. Leurs rangs sont respectivement 6 et 10. On obtient D5 = 1 500 € et D9 = 1 900 €.
4. Comparer les deux seuils extrêmes. L'écart interdécile vaut 1 900 − 1 100 = 800 €. Le rapport interdécile vaut 1 900 / 1 100 ≈ 1,73.
Le contrôle consiste à recompter la liste : D1 est bien la deuxième valeur, D5 la sixième et D9 la dixième. Une représentation des onze revenus rend visibles ces trois positions et l'écart de 800 €.
En pratique
Pour comparer des revenus ou des salaires, on relève D1 et D9, puis on calcule leur rapport. Si l'on veut exprimer une distance en euros plutôt qu'un facteur multiplicatif, l'écart interdécile est plus parlant.
Dans une boîte à moustaches, D1 et D9 peuvent servir d'extrémités. Comme d'autres conventions emploient les valeurs extrêmes ou une règle fondée sur les quartiles, il faut lire la légende avant d'interpréter les moustaches.
Pour calculer une moyenne élaguée à 10 %, il faut fixer une convention de comptage. Par exemple, dans une série ordonnée de n valeurs, on peut retirer à chaque extrémité la partie entière de 10 % de n, puis moyenner les valeurs restantes. D'autres conventions peuvent recourir à une pondération lorsque 10 % de n n'est pas entier ; la méthode choisie doit donc être annoncée. Si seule la position centrale importe, la médiane fournit une autre lecture.
À ne pas confondre
Décile et quartile. Un décile intervient dans un découpage en dix groupes, tandis qu'un quartile intervient dans un découpage en quatre groupes. Le critère décisif est la proportion visée : D1 repère 10 %, alors que le premier quartile repère 25 %.
Décile et percentile. Un percentile repère une position parmi cent parts, contre dix pour un décile. Avec une même convention de calcul, D1 coïncide avec le 10e percentile et D9 avec le 90e.
Limites et pièges
Petit effectif. Avec moins de dix observations, il est impossible de former dix groupes non vides. Le symptôme est un même rang attribué à plusieurs déciles ; il faut alors annoncer la convention de calcul et éviter de parler de dix groupes effectivement observés.
Valeurs répétées. Des ex æquo placés sur un seuil empêchent parfois d'obtenir exactement 10 % des observations de chaque côté. Pour interpréter les groupes, on peut choisir de conserver les valeurs égales ensemble et de décrire le décile comme une valeur seuil ; d'autres conventions attribuent une position au sein du bloc d'ex æquo.
Convention de calcul. Selon que l'on retient un rang entier ou une interpolation, un petit échantillon peut donner des déciles différents. La méthode doit être précisée ; deux résultats ne se comparent qu'avec la même convention.
Rapport impossible ou trompeur. Si D1 vaut 0, le rapport D9/D1 n'est pas défini. Si D1 est négatif, son interprétation comme facteur d'inégalité perd son sens ; l'écart D9 − D1 reste alors lisible.
Pour aller plus loin
quantile — Replace le décile dans la famille générale des seuils de position.
quartile — Compare un découpage en quatre groupes au découpage en dix.
percentile — Relie D1 et D9 aux seuils des 10e et 90e percentiles.
boîte à moustaches — Montre comment des seuils de position résument graphiquement une distribution.
moyenne élaguée — Explique pourquoi retirer les extrêmes peut stabiliser une moyenne.
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