moyenne élaguée

Sept juges donnent les notes 4, 6, 7, 8, 9, 10 et 20. La note 20 tire fortement la moyenne vers le haut. La moyenne élaguée commence par ranger les notes, puis retire ici la plus petite et la plus grande.

Il reste 6, 7, 8, 9 et 10, dont la moyenne vaut 8. Ce nombre décrit mieux le centre des cinq avis conservés, mais il dépend de la règle choisie pour écarter les extrêmes.

Une moyenne élaguée, ou moyenne tronquée, s'obtient en ordonnant les valeurs, en supprimant le même nombre de valeurs à chaque extrémité, puis en calculant la moyenne arithmétique de celles qui restent. L'expression moyenne réduite est également employée. Cette procédure vise à diminuer l'influence d'observations atypiques sur l'indicateur central.

On note n le nombre initial de valeurs et k le nombre retiré dans chacune des deux extrémités. Après classement croissant, la valeur de rang i est notée x_(i). Il faut choisir un entier k tel que 0 ≤ k < n/2, afin qu'au moins une valeur demeure. La moyenne élaguée d'ordre k est alors ${\bar{x}}_k=\frac{1}{n-2k}{\sum }_{i=k+1}^{n-k}{x}_{(i)}\backslash overline\{x\}\_\{k\}=\backslash frac\{1\}\{n-2k\}\backslash sum\_\{i=k+1\}^\{n-k\}x\_\{(i)\}$.

L'élagage peut porter sur un nombre fixé de valeurs, comme une note de chaque côté dans un jury, ou sur une proportion fixée. Pour un taux p, une convention possible consiste à retirer de chaque côté k = ⌊pn⌋ valeurs, sous réserve que 2k < n : avec p = 10 %, on écarte ainsi jusqu'à un dixième des observations à chaque extrémité. Une autre convention d'arrondi peut être retenue, mais elle doit être annoncée. Le choix de k ou du pourcentage n'est pas imposé par la série seule : il doit être annoncé et justifié selon le contexte.

Un participant reçoit sept notes déjà rangées : 4, 6, 7, 8, 9, 10 et 20. La règle du jury prévoit de retirer une note à chaque extrémité. Il y a donc n = 7 notes et k = 1 note écartée de chaque côté.

1. On retire la plus basse, 4, et la plus haute, 20.
2. Les cinq notes conservées sont 6, 7, 8, 9 et 10.
3. Leur somme vaut 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40.
4. On divise cette somme par le nombre de notes conservées : 40 ÷ 5 = 8.

La moyenne élaguée est donc 8 points. Le contrôle consiste à recompter cinq notes après les deux retraits, puis à refaire leur somme. À titre de comparaison, les sept notes totalisent 64 et leur moyenne arithmétique non élaguée vaut 64 ÷ 7 ≈ 9,14 points.

Dans une évaluation par jury, la règle peut retirer la note la plus haute et la note la plus basse de chaque participant. Elle convient lorsque l'on veut limiter l'effet d'un juge exceptionnellement sévère ou généreux ; la moyenne ordinaire reste préférable si toutes les notes doivent compter.

En économie ou en démographie, on peut élaguer les extrémités lorsqu'elles sont jugées peu représentatives de la tendance étudiée. Le pourcentage retiré doit être fixé avant l'interprétation et communiqué avec le résultat.

Avant d'appliquer la méthode, on examine ce que représentent les valeurs extrêmes. Si elles signalent un phénomène réel important plutôt qu'une observation atypique, les supprimer masquerait précisément l'information recherchée.

La moyenne arithmétique utilise toutes les valeurs. Pour les sept notes de l'exemple, elle vaut environ 9,14, tandis que la moyenne élaguée vaut 8 après deux retraits.

La moyenne pondérée conserve les valeurs mais leur attribue des poids différents. Une note de poids nul ne compte pas, mais ce choix relève d'une pondération annoncée, pas d'un retrait fondé sur son rang parmi les extrêmes.

La médiane dépend du ou des rangs centraux de la série ordonnée, sans moyenner toutes les observations restantes. Dans l'exemple à sept notes, la médiane et la moyenne élaguée valent toutes deux 8, mais cette coïncidence n'est pas une identité générale.

Le nombre de valeurs supprimées demeure en partie subjectif. Deux analystes peuvent donc obtenir des résultats différents avec la même série s'ils choisissent des taux d'élagage différents ; il faut toujours publier la règle employée.

Avec n valeurs et k retraits de chaque côté, il faut respecter 2k < n. Au seuil 2k = n, aucune valeur ne reste et la moyenne élaguée n'est pas définie.

Élaguer les valeurs extrêmes ne prouve pas qu'elles sont erronées. Si une valeur rare est pertinente pour le phénomène étudié, le symptôme est un résultat devenu artificiellement régulier ; il faut alors conserver cette valeur ou présenter aussi l'indicateur non élagué.

Une consigne formulée en pourcentage doit préciser sa convention d'arrondi lorsque l'effectif ne donne pas un nombre entier de valeurs à retirer. Sans cette convention, le calcul n'est pas reproductible.

La moyenne arithmétique permet de comparer le calcul avant et après retrait des valeurs extrêmes.

Le décile précise la règle de coupure lorsqu'on écarte le premier et le dernier dixième d'une distribution.

La moyenne pondérée montre une autre façon de modifier l'influence des observations, en jouant sur leurs poids plutôt qu'en les supprimant.