étendue d'une série statistique

Imaginez six salaires mensuels : 1 800 €, 1 950 €, 2 050 €, 2 200 €, 2 300 € et 9 000 €. Pour connaître toute la largeur couverte par ces valeurs, on regarde seulement les deux extrêmes.

L'écart entre 1 800 € et 9 000 € vaut 7 200 € : c'est l'étendue. Elle indique l'amplitude totale de la série, mais pas la façon dont les salaires se répartissent entre ces deux bornes.

L'étendue est un indicateur de dispersion absolue applicable à une série statistique quantitative non vide. Elle mesure l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur observées. La valeur minimale est notée x_min, la valeur maximale x_max et l'étendue E.

Le résultat s'exprime dans la même unité que les données : euros pour des salaires, mètres pour des hauteurs d'eau. Il est toujours positif ou nul. Il vaut zéro exactement lorsque toutes les valeurs de la série sont égales. Les effectifs et les valeurs intermédiaires n'interviennent pas dans son calcul. Cette simplicité explique aussi sa limite principale : une seule valeur exceptionnelle peut déplacer fortement une borne et donner une image peu représentative de la dispersion habituelle.

Le calcul repose sur quatre éléments. La série quantitative fournit les valeurs observées et leur unité. Le minimum en fixe la borne basse ; le maximum en fixe la borne haute. Leur différence donne enfin l'étendue.

Les deux bornes dépendent donc de la série choisie, et l'étendue dépend directement de ces deux bornes. En revanche, l'ordre de présentation des données et le nombre de répétitions d'une même valeur ne changent pas le résultat. L'unité ne définit pas l'indicateur, mais elle est indispensable pour l'interpréter. Ces données suffisent à situer toutes les observations dans un intervalle allant du minimum au maximum.

Une entreprise observe les six salaires mensuels fictifs suivants : 1 800 €, 1 950 €, 2 050 €, 2 200 €, 2 300 € et 9 000 €. Chaque montant est exprimé en euros.

1. Le minimum de la série est 1 800 €.
2. Le maximum de la série est 9 000 €.
3. On soustrait le minimum au maximum.

L'étendue des salaires est donc de 7 200 €. Pour contrôler le calcul, on ajoute cette étendue au minimum : 1 800 € + 7 200 € = 9 000 €, ce qui redonne bien le maximum. Le schéma associé matérialise l'intervalle couvert et l'isolement du salaire le plus élevé.

Pour un premier contrôle, l'étendue indique immédiatement l'amplitude totale d'une liste de mesures. On repère le minimum et le maximum, puis on vérifie si l'écart obtenu reste compatible avec le domaine observé et l'unité utilisée.

Dans la série des salaires, 7 200 € révèle surtout qu'un montant est très éloigné des cinq autres. Si l'objectif est de décrire la dispersion habituelle, un indicateur fondé sur davantage de valeurs, comme l'écart-type ou l'écart interquartile, est préférable.

Pour des hauteurs d'eau, l'étendue résume l'écart entre le niveau le plus bas et le plus haut de la période choisie. Une crue exceptionnelle doit cependant être signalée, car elle peut dominer le résultat sans représenter les variations ordinaires.

Avec l'écart-type. L'étendue utilise seulement le minimum et le maximum, tandis que l'écart-type tient compte de toutes les valeurs et de leur éloignement à la moyenne. Deux séries ayant les mêmes extrêmes ont la même étendue, mais peuvent avoir des écarts-types différents.

Avec l'écart interquartile. Celui-ci mesure la largeur de la moitié centrale des données, entre le premier et le troisième quartile. Dans la série de salaires, il atténue l'influence du montant de 9 000 €, alors que l'étendue en dépend directement.

Avec l'intervalle des valeurs observées. Cet intervalle va du minimum au maximum et conserve ses deux bornes ; l'étendue est seulement sa largeur. Pour des salaires allant de 1 800 € à 9 000 €, l'intervalle est [1 800 € ; 9 000 €], tandis que l'étendue vaut 7 200 €.

Une valeur extrême peut tout dominer. Avec les six salaires, l'étendue vaut 7 200 €. Si le salaire de 9 000 € est écarté pour étudier les cinq salaires ordinaires, elle tombe à 500 €. Il faut donc examiner les extrêmes et justifier toute exclusion, puis compléter l'analyse par un indicateur moins sensible.

Une crue exceptionnelle déforme la lecture habituelle. Dans une longue série de hauteurs d'eau, un record isolé peut fixer le maximum. Le symptôme est un grand écart entre ce record et les autres relevés ; la période et l'événement doivent être signalés, avec un résumé de la dispersion centrale.

Une étendue nulle ne signifie pas absence de données. Elle indique que le minimum et le maximum coïncident, donc que toutes les valeurs observées sont égales. Il faut alors annoncer cette valeur commune et l'effectif de la série pour éviter une interprétation ambiguë.

Une même étendue peut masquer des répartitions différentes. Des valeurs serrées près du minimum ou régulièrement réparties entre les bornes peuvent partager les mêmes extrêmes. Il faut regarder la distribution complète ou ajouter d'autres indicateurs avant de conclure sur la dispersion globale.

Écart-type — Pour mesurer la dispersion en tenant compte de toutes les valeurs et de leur distance à la moyenne.

Quartile — Pour repérer les bornes de la moitié centrale d'une série et construire un indicateur moins sensible aux extrêmes.