Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
paramètre de dispersion
Les paramètres de dispersion d'une série statistique simple sont des indicateurs numériques qui décrivent la manière dont les valeurs de la série se répartissent autour d'une valeur centrale.
Ils se répartissent en deux familles. Les paramètres de dispersion absolue sont exprimés dans une unité liée au caractère étudié : la variance s'exprime dans l'unité au carré, tandis que les autres indicateurs cités ici s'expriment dans l'unité du caractère.
Les plus courants comprennent l'étendue (différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série) et les intervalles interquantiles, comme l'intervalle interquartile ou l'intervalle interdécile (qui caractérisent l'étalement des valeurs autour de la médiane). L'écart absolu moyen, la variance et l'écart-type mesurent la dispersion des valeurs autour de la moyenne arithmétique.
Les paramètres de dispersion relative sont sans dimension : ils permettent de comparer le degré de dispersion de séries dont les échelles sont comparables et dont la valeur centrale choisie est non nulle et interprétable. Ils s'obtiennent en rapportant un paramètre de dispersion absolue à une valeur centrale. Les plus utilisés sont le coefficient interquartile relatif, l'écart moyen relatif et le coefficient de variation ; ce dernier suppose notamment une échelle dotée d'un zéro véritable.
Ils se répartissent en deux familles. Les paramètres de dispersion absolue sont exprimés dans une unité liée au caractère étudié : la variance s'exprime dans l'unité au carré, tandis que les autres indicateurs cités ici s'expriment dans l'unité du caractère.
Les plus courants comprennent l'étendue (différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série) et les intervalles interquantiles, comme l'intervalle interquartile ou l'intervalle interdécile (qui caractérisent l'étalement des valeurs autour de la médiane). L'écart absolu moyen, la variance et l'écart-type mesurent la dispersion des valeurs autour de la moyenne arithmétique.
Les paramètres de dispersion relative sont sans dimension : ils permettent de comparer le degré de dispersion de séries dont les échelles sont comparables et dont la valeur centrale choisie est non nulle et interprétable. Ils s'obtiennent en rapportant un paramètre de dispersion absolue à une valeur centrale. Les plus utilisés sont le coefficient interquartile relatif, l'écart moyen relatif et le coefficient de variation ; ce dernier suppose notamment une échelle dotée d'un zéro véritable.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer les paramètres de dispersion absolue des paramètres relatifs.
- Calculer l'étendue, l'intervalle interquartile, la variance, l'écart-type et le coefficient de variation sur une même série.
- Choisir un indicateur selon la présence de valeurs extrêmes, l'unité et l'objectif de comparaison.
- Repérer les difficultés liées à une moyenne nulle, aux unités de la variance et aux conventions de quartiles.
En clair
Deux groupes peuvent avoir la même moyenne sans se ressembler. Imaginez cinq trajets de 1, 3, 5, 7 et 9 km : leur moyenne est 5 km, mais les distances s'étalent largement autour de cette valeur. Un paramètre de dispersion donne un nombre à cet étalement.
Selon la question, on regarde toute l'amplitude, la moitié centrale des données ou les écarts à la moyenne. Une petite dispersion signale des valeurs regroupées ; une grande dispersion signale des valeurs éloignées les unes des autres.
Définition
Un paramètre de dispersion est un indicateur numérique qui décrit l'étalement des valeurs d'une série statistique autour d'une valeur centrale. Il complète donc la moyenne ou la médiane : deux séries ayant le même centre peuvent présenter des dispersions très différentes.
Les paramètres absolus conservent une unité liée au caractère étudié : celle du caractère pour l'étendue, les intervalles interquantiles, l'écart absolu moyen et l'écart-type, et son carré pour la variance. L'étendue est la différence entre le maximum et le minimum. Les intervalles interquantiles, notamment l'intervalle interquartile et l'intervalle interdécile, décrivent l'étalement autour de la médiane. L'écart absolu moyen mesure la moyenne des distances à une valeur centrale. Dans cette fiche, la variance descriptive est la somme des carrés des écarts à la moyenne arithmétique divisée par le nombre de valeurs ; elle s'exprime dans l'unité au carré. L'écart-type est la racine carrée de cette variance et retrouve l'unité du caractère.
Les paramètres relatifs sont sans dimension. Ils rapportent un paramètre absolu à une valeur centrale afin de comparer des dispersions sur des échelles ou dans des unités différentes. Le coefficient interquartile relatif, l'écart moyen relatif et le coefficient de variation appartiennent à cette catégorie. Le choix de l'indicateur dépend du centre retenu et de la sensibilité souhaitée aux valeurs extrêmes.
Un exemple, pas à pas
Cinq distances quotidiennes sont relevées : 1 km, 3 km, 5 km, 7 km et 9 km. La figure synthétise leur étalement, la moitié centrale et la position de la moyenne.
1. Les valeurs sont déjà rangées dans l'ordre croissant. Leur moyenne, notée m, vaut : .
2. L'étendue soustrait le minimum au maximum : 9 − 1 = 8 km.
3. Avec la convention des rangs arrondis à l'entier supérieur, le premier quartile est la valeur de rang 2 et vaut 3 km ; le troisième quartile est la valeur de rang 4 et vaut 7 km. L'intervalle interquartile mesure donc 7 − 3 = 4 km.
4. Les écarts à la moyenne sont −4, −2, 0, 2 et 4 km. La variance, notée V, est la moyenne de leurs carrés : .
5. L'écart-type, noté σ, est la racine carrée de la variance : .
Le coefficient de variation rapporte cet écart-type à la moyenne : 2,83 ÷ 5 ≈ 0,566, soit 56,6 %. Pour contrôler la variance, les carrés des écarts totalisent 40 km² ; divisés par cinq, ils redonnent bien 8 km².
En pratique
Pour résumer une série sans valeur très éloignée, l'écart-type accompagne utilement la moyenne : il exprime un écart typique dans la même unité que les données. Si quelques valeurs extrêmes dominent le calcul, l'intervalle interquartile décrit mieux la moitié centrale.
Pour vérifier une amplitude admissible, l'étendue fournit immédiatement l'écart entre les deux extrêmes. Elle convient lorsque ces deux bornes sont précisément ce qui importe, mais elle ignore toutes les valeurs intermédiaires.
Pour comparer l'irrégularité de séries dont les moyennes ou les unités diffèrent, un indicateur relatif peut être pertinent si leurs échelles sont comparables et si la valeur centrale choisie est non nulle et interprétable. Le coefficient de variation rapporte l'écart-type à la moyenne et suppose notamment une échelle dotée d'un zéro véritable : sa valeur change lors d'un changement d'origine.
À ne pas confondre
Paramètre de dispersion et paramètre de position. Un paramètre de position situe le centre ou un rang de la série ; un paramètre de dispersion mesure son étalement. Les séries 3, 5, 7 et 1, 5, 9 ont toutes deux pour moyenne 5, mais leurs étendues valent respectivement 4 et 8.
Écart individuel et dispersion de la série. L'écart d'une valeur à la moyenne concerne une seule observation et peut être négatif. L'écart-type agrège tous les écarts et reste positif ou nul. Dans la série 1, 3, 5, 7, 9, l'écart de 1 à la moyenne vaut −4 km, tandis que l'écart-type vaut environ 2,83 km.
Limites et pièges
Moyenne nulle. Le coefficient de variation exige une division par la moyenne. Si celle-ci vaut 0, le calcul est impossible ; si elle est très proche de 0, le rapport devient instable. Il faut alors présenter un indicateur absolu adapté.
Valeur extrême. L'étendue, la variance et l'écart-type peuvent changer fortement à cause d'une seule observation éloignée. Le symptôme est un indicateur qui ne décrit plus le groupe principal. Il faut examiner les données et envisager l'intervalle interquartile.
Unité de la variance. Pour des distances en kilomètres, la variance s'exprime en kilomètres carrés, même si aucune aire n'est mesurée. Pour commenter l'écart dans l'unité d'origine, il faut employer l'écart-type.
Quartiles d'un petit effectif. Pour cinq valeurs, une convention de rang doit être annoncée : des logiciels peuvent interpoler autrement. Il faut vérifier la convention avant de comparer deux intervalles interquartiles calculés par des outils différents.
Pour aller plus loin
Écart-type — Approfondir l'indicateur qui ramène la dispersion autour de la moyenne dans l'unité des données.
Coefficient de variation — Voir comment comparer deux dispersions relatives lorsque les moyennes ou les unités diffèrent.
Étendue d'une série statistique — Examiner l'indicateur fondé uniquement sur les valeurs minimale et maximale.
Moyenne arithmétique — Revoir la valeur centrale utilisée pour calculer variance, écart-type et coefficient de variation.
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