indice de Gini

L’indice de Gini condense ce déséquilibre en un nombre compris entre 0 et 1. Zéro décrit une répartition parfaitement égale ; plus le nombre se rapproche de 1, plus le revenu est concentré. Ici, il vaut 0,40. Ce nombre facilite une comparaison, mais ne raconte pas à lui seul comment les revenus se répartissent.

Le coefficient, ou indice, de Gini est une mesure statistique des inégalités de distribution dans une population. Il s’applique notamment aux revenus, aux salaires et aux niveaux de vie. Dans le cadre usuel d’une grandeur distribuée non négative, avec un total strictement positif, sa valeur appartient à l’intervalle [0, 1]. La valeur 0 correspond à une égalité parfaite. Pour une population finie de n individus, une concentration maximale, où un seul individu détient toute la richesse, donne G = 1 - 1/n ; la borne 1 est un supremum, approché lorsque n devient très grand. Une valeur plus proche de 1 signale donc des inégalités plus fortes.

La courbe de Lorenz place en regard la part cumulée de la population, après classement des individus ou des tranches par grandeur distribuée croissante, et la part cumulée correspondante du revenu. Si B désigne l’aire sous cette courbe, le coefficient est $G=1-2BG\; =\; 1\; -\; 2B$. Cette écriture compare implicitement la distribution observée à l’égalité parfaite. Le statisticien italien Corrado Gini (1884–1965) a introduit ce coefficient.

Avec des données agrégées par tranches, préalablement classées par grandeur distribuée croissante, X_k désigne la part cumulée de population au rang k et Y_k la part cumulée de revenu au même rang. Pour la courbe de Lorenz polygonale reliant les points observés, on ajoute les points extrêmes X₀ = Y₀ = 0 et X_n = Y_n = 1. La formule de Brown s’écrit alors $G=1-{\sum }_{k=0}^{n-1}(X_{k+1}-X_k)(Y_{k+1}+Y_k)G\; =\; 1\; -\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}(X\_\{k+1\}-X\_k)(Y\_\{k+1\}+Y\_k)$. Une même valeur de G peut toutefois provenir de distributions très différentes : le coefficient ne restitue pas toute la forme de la courbe de Lorenz.

On classe cinq ménages par revenu croissant. Leurs revenus sont 10, 20, 30, 40 et 100 unités. Chaque ménage représente 20 % de la population.

Étape 1. Additionnez les revenus : 10 + 20 + 30 + 40 + 100 = 200 unités. Ce total sert de référence aux parts de revenu.

Étape 2. Les parts cumulées de population, notées X_k, sont 0 ; 0,20 ; 0,40 ; 0,60 ; 0,80 ; 1.

Étape 3. Divisez les revenus cumulés 0, 10, 30, 60, 100 et 200 par 200. Les parts cumulées de revenu, notées Y_k, sont 0 ; 0,05 ; 0,15 ; 0,30 ; 0,50 ; 1.

Étape 4. Dans la somme de Brown, chaque écart X_k+1 − X_k vaut 0,20. La somme vaut 0,20 × (0,05 + 0,20 + 0,45 + 0,80 + 1,50) = 0,60.

Étape 5. Soustrayez cette somme à 1 : $G=1-\mathrm{0,60}=\mathrm{0,40}G\; =\; 1\; -\; 0\{,\}60\; =\; 0\{,\}40$. L’indice de Gini de cette distribution vaut 0,40.

Le tracé des parts cumulées forme une courbe polygonale sous la droite d’égalité parfaite. Pour contrôler le calcul, vérifiez que le premier point est (0 ; 0), le dernier (1 ; 1) et que les parts cumulées ne diminuent jamais.

Pour comparer la distribution des revenus de deux populations, calculez l’indice sur des données construites de la même manière. Si la forme détaillée des répartitions importe, comparez plutôt leurs courbes de Lorenz.

Pour suivre des salaires ou des niveaux de vie, observez l’évolution du coefficient entre deux périodes comparables. Si seules des données par tranches sont disponibles, employez les parts cumulées et la formule de Brown.

Avant d’interpréter un écart, vérifiez la population, la grandeur distribuée et le découpage des données. Si l’une de ces conventions change, décrivez d’abord ce changement au lieu d’attribuer tout l’écart aux inégalités.

Dans le cadre usuel d'une grandeur distribuée non négative, avec un total strictement positif, le coefficient de Gini est un nombre compris entre 0 et 1 ; la courbe de Lorenz est le tracé des parts cumulées de population et de revenu. Le critère est donc la forme du résultat : un nombre ou une courbe. Lorsque deux distributions ont le même coefficient, leurs courbes de Lorenz peuvent encore montrer des répartitions différentes.

Même valeur, distributions différentes. Deux populations peuvent avoir le même indice sans partager la même répartition. Le symptôme est un nombre identique malgré des courbes de Lorenz distinctes. Il faut alors examiner les courbes plutôt que conclure à des distributions équivalentes.

Données regroupées. Avec des tranches, le détail individuel n’est pas disponible et le calcul repose sur leurs parts cumulées. Il faut appliquer la formule de Brown aux bornes observées et conserver le découpage des tranches dans l’interprétation.

Valeurs extrêmes. Dans le cadre usuel d’une grandeur distribuée non négative, avec un total strictement positif, G = 0 est le cas charnière d’une égalité parfaite. Pour n individus, une concentration maximale où un seul individu détient toute la richesse donne G = 1 - 1/n ; G = 1 n’est pas atteint pour une population finie, mais constitue le supremum lorsque n augmente. Entre ces deux bornes, une valeur isolée mesure une intensité d’inégalité, pas la forme complète de la distribution.

courbe de Lorenz : voyez comment les parts cumulées rendent visibles des répartitions qu’un même indice de Gini peut masquer.