Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi de Pareto
La loi de Pareto est une loi de probabilité à queue lourde pour une variable positive bornée inférieurement par un seuil xₘ > 0, avec un indice de queue α > 0. Au-delà de ce seuil, la probabilité de dépasser x décroît comme (xₘ/x)^α : les très grandes valeurs deviennent rares, mais restent plus probables que dans les modèles à décroissance rapide. Elle ne doit pas être confondue avec la règle empirique des 80/20, qui n’est ni une hypothèse ni une conséquence générale de cette loi.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire les paramètres et la densité d'une loi de Pareto.
- Calculer une probabilité de dépassement à partir de la fonction de survie.
- Distinguer la distribution mathématique du principe empirique des 80/20.
- Repérer les seuils α = 1 et α = 2 pour l'existence de l'espérance et de la variance.
En clair
Imaginez cent sinistres coûtant chacun au moins 100 euros. La plupart restent proches de ce seuil, mais quelques montants peuvent être beaucoup plus élevés. Une loi de Pareto décrit cette longue traîne : plus le montant augmente, plus il devient rare, sans que les grandes valeurs disparaissent aussi vite que dans beaucoup de modèles usuels.
Le célèbre « 80/20 » traduit une autre idée : une petite part des causes concentre parfois une grande part des effets. C'est un repère empirique associé à Pareto, et non un partage imposé par toute loi de Pareto.
Définition
La loi de Pareto est une loi de probabilité continue portée par les valeurs supérieures ou égales à un seuil strictement positif. On note X la variable étudiée, xm sa valeur minimale et α son indice de queue ; les deux paramètres sont strictement positifs. Sa densité est nulle sous xm et, pour x ≥ xm, elle vaut :
La probabilité de dépasser une valeur x se lit plus directement avec la fonction de survie :
Cette décroissance en puissance produit une queue lourde. Plus α est petit, plus les valeurs très grandes gardent un poids important.
La loi a d'abord servi à modéliser la répartition très inégale des revenus observée par Vilfredo Pareto à la fin du XIXe siècle. Le principe de Pareto, ou règle des 80/20, en est une formulation empirique associée : il décrit une concentration souvent observée, mais ses nombres 80 et 20 ne définissent ni la densité ni ses paramètres.
Le principe
Si X suit une loi de Pareto de seuil xm > 0 et d'indice α > 0, alors X ne prend aucune valeur sous xm. Pour tout seuil x au moins égal à xm, sa probabilité de dépassement est :
Le quotient compare le minimum au seuil étudié ; l'exposant α règle la vitesse de décroissance de la queue.
Quand l'utiliser
Le modèle s'applique à une grandeur continue positive dont on étudie les valeurs à partir d'un seuil xm connu ou choisi. Il faut aussi fixer un indice α strictement positif. La formule fournit alors une densité normalisée et les probabilités de dépassement pour x ≥ xm.
Une décroissance qui change nettement de régime, une borne supérieure physique proche ou des données essentiellement discrètes peut contredire ce modèle continu à queue de puissance. Dans ce cas, il faut examiner les données et comparer une loi bornée, discrète ou un autre modèle de queue, au lieu d'imposer une loi de Pareto. Le simple constat d'une répartition inégale ne suffit pas à valider la formule.
Un exemple, pas à pas
On modélise le montant X d'un sinistre, en euros, au-delà du seuil xm = 100, avec l'indice α = 2. On cherche la probabilité qu'un montant atteigne au moins 200 euros, puis 500 euros.
1. Pour 200 euros, on remplace x par 200 dans la fonction de survie :
La probabilité vaut exactement 25 %.
2. Pour 500 euros, le même calcul donne :
La probabilité vaut exactement 4 %.
3. Sur cent sinistres indépendants suivant ce modèle, les nombres moyens de dépassements sont donc 25 au-dessus de 200 euros et 4 au-dessus de 500 euros. Ce sont des espérances, pas des effectifs garantis dans chaque série de cent observations.
4. Le contrôle au seuil donne P(X ≥ 100) = 1. La courbe de dépassement part donc de 100 % et décroît jusqu'aux deux valeurs calculées ; elle permet de vérifier que relever le seuil réduit bien la probabilité.
En pratique
En analyse de risques, la loi de Pareto sert à modéliser des montants extrêmes au-dessus d'un seuil. Si les données présentent plutôt une borne nette ou une chute rapide, un modèle borné ou à queue plus légère doit être comparé.
En économie, elle donne un modèle mathématique de distributions très inégales, notamment pour les revenus. Le choix se justifie par le comportement de la queue observée, pas seulement par l'existence d'écarts entre individus.
En gestion, le principe des 80/20 aide à classer des causes par contribution cumulée, par exemple des clients à l'origine de réclamations. Les parts doivent être calculées sur les données réelles : si la concentration n'est pas proche de 80/20, on conserve le ratio observé.
À ne pas confondre
Loi de Pareto et principe des 80/20. La première est une distribution de probabilité définie par xm et α ; le second est un constat empirique de concentration. Une série peut suivre une loi de Pareto sans partager exactement ses effets selon 80 % et 20 %.
Loi de Pareto et queue lourde. Une loi de Pareto possède une queue en loi de puissance, mais « queue lourde » désigne une famille plus vaste. Observer des événements extrêmes relativement fréquents ne suffit donc pas à identifier précisément une loi de Pareto.
Limites et pièges
Le seuil fait partie du modèle. La formule ne vaut que pour x ≥ xm. L'appliquer sous ce minimum produirait une probabilité de dépassement supérieure à 1 ; il faut alors décrire séparément les valeurs sous le seuil.
Tous les moments n'existent pas. L'espérance est finie seulement si α > 1. La variance est finie seulement si α > 2 ; au cas charnière α = 2 de l'exemple, l'espérance vaut 200 euros mais la variance est infinie. Un échantillon fini possède malgré tout une moyenne et une variance empiriques finies.
80/20 n'est pas une constante. Des données peuvent donner 70/30, 90/10 ou une autre concentration. Il faut ordonner les contributions, calculer leur cumul et annoncer le ratio observé au lieu de forcer les nombres 80 et 20.
Une droite apparente ne suffit pas. Une courte portion de données peut sembler compatible avec une décroissance en puissance. Il faut contrôler le seuil retenu et comparer l'ajustement à d'autres modèles avant d'interpréter α.
Pour aller plus loin
variable aléatoire — Replacer la grandeur X et ses probabilités dans le cadre général des variables aléatoires.
densité de probabilité — Voir comment une densité continue attribue des probabilités à des intervalles de valeurs.
fonction de répartition — Relier la probabilité de dépassement de Pareto à la probabilité cumulée complémentaire.
variance d'une variable aléatoire — Approfondir la condition α > 2 qui rend la variance de Pareto finie.
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