Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
Gumbel (loi de)
La loi de Gumbel est une loi de probabilité utilisée pour modéliser la distribution des valeurs extrêmes maximales d'un échantillon. Elle appartient à la famille des lois des valeurs extrêmes et possède deux paramètres : un paramètre de position mu et un paramètre d'échelle beta > 0. Sa fonction de répartition est F(x) = exp(-exp(-(x-mu)/beta)). La loi de Gumbel est asymétrique et est utilisée en ingénierie et en hydrologie pour modéliser des événements rares comme les crues maximales ou les pics de charge.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter les paramètres de position μ et d’échelle β.
- Calculer une probabilité de non-dépassement puis de dépassement.
- Relier une probabilité annuelle à une période de retour moyenne.
- Éviter d’utiliser la convention des maxima directement pour des minima.
En clair
Chaque année, une rivière atteint un débit maximal différent. La plupart de ces maxima restent modérés, mais quelques crues sortent nettement du lot. La loi de Gumbel décrit la manière dont ces valeurs extrêmes se répartissent.
Deux réglages déplacent et étalent le modèle : le paramètre de position μ situe les valeurs, tandis que le paramètre d’échelle β mesure leur dispersion. La courbe est asymétrique, car les maxima exceptionnellement grands forment une queue plus longue d’un côté.
Définition
La loi de Gumbel est une loi de probabilité continue de la famille des lois des valeurs extrêmes. Elle sert notamment à modéliser un maximum observé par période, comme le débit maximal annuel d’une rivière ou un pic de charge en ingénierie. La variable aléatoire X représente cette valeur extrême.
Dans la convention des maxima, sa fonction de répartition F donne la probabilité que X ne dépasse pas une valeur x. Le paramètre réel μ règle la position et le paramètre strictement positif β règle l’échelle : . Une augmentation de μ translate la distribution. Une augmentation de β l’étale davantage sans supprimer son asymétrie.
La formule affichée correspond aux maxima. Pour représenter des minima avec la même convention, on peut appliquer la loi des maxima à l’opposé de la grandeur, puis changer de nouveau le signe. Cette distinction est nécessaire : employer directement la formule des maxima pour des minima inverse le côté où se prolonge la queue de la distribution.
Le principe
Si X suit une loi de Gumbel pour les maxima, avec un paramètre de position μ réel et un paramètre d’échelle β strictement positif, alors la probabilité de non-dépassement du seuil x est :
La probabilité de dépasser x vaut donc 1 − F(x). Réciproquement, si p désigne une probabilité de non-dépassement comprise strictement entre 0 et 1, le quantile associé est .
Quand l'utiliser
Le modèle s’applique à une série de valeurs extrêmes comparables, par exemple un débit maximal pour chacune de plusieurs années. Les blocs d’observation doivent avoir le même sens et la même durée. Les paramètres μ et β doivent être estimés dans la même unité que les maxima, avec β > 0. Le calcul fournit alors une probabilité de non-dépassement ou de dépassement pour un seuil donné.
Un relevé mêlant tous les débits quotidiens, ordinaires comme extrêmes, n’est pas directement une série de maxima annuels. Il faut d’abord extraire un maximum par année avant d’appliquer ce modèle. De même, si les données sont des minima, il faut changer de convention ou travailler sur leur opposé plutôt que réutiliser sans adaptation la formule des maxima.
Un exemple, pas à pas
Une série de débits maximaux annuels est modélisée par une loi de Gumbel pour les maxima. On veut évaluer le risque qu’une année dépasse 1 400 m3/s.
Les données sont :
paramètre de position μ = 1 000 m3/s ;
paramètre d’échelle β = 200 m3/s ;
seuil x = 1 400 m3/s.
paramètre de position μ = 1 000 m3/s ;
paramètre d’échelle β = 200 m3/s ;
seuil x = 1 400 m3/s.
1. Le seuil réduit vaut (1 400 − 1 000) / 200 = 2.
2. On calcule exp(−2) ≈ 0,1353.
3. La probabilité de non-dépassement est F(1 400) = exp(−0,1353) ≈ 0,8734.
4. La probabilité de dépassement vaut 1 − 0,8734 ≈ 0,1266, soit environ 12,7 %.
2. On calcule exp(−2) ≈ 0,1353.
3. La probabilité de non-dépassement est F(1 400) = exp(−0,1353) ≈ 0,8734.
4. La probabilité de dépassement vaut 1 − 0,8734 ≈ 0,1266, soit environ 12,7 %.
Le modèle attribue donc au dépassement de 1 400 m3/s une probabilité annuelle d’environ 12,7 %. Comme contrôle, F(1 400) + [1 − F(1 400)] = 0,8734 + 0,1266 = 1. Si les maxima annuels sont comparables d’une année à l’autre, l’inverse 1 / 0,1266 ≈ 7,9 donne une période de retour moyenne d’environ 7,9 ans, et non une attente garantie de huit ans.
En pratique
En hydrologie, on rassemble un débit maximal par année, on ajuste μ et β, puis on calcule la probabilité de dépasser le niveau auquel un ouvrage doit résister. Si les relevés mélangent tous les débits journaliers, on commence par constituer la série des maxima annuels.
En ingénierie, le même geste s’applique à des pics de charge mesurés sur des périodes comparables. Le modèle est retenu lorsque la variable étudiée est bien le pic de chaque période et que l’asymétrie observée correspond à celle de la loi ajustée.
Pour communiquer un risque, la probabilité de dépassement est souvent plus claire que la seule période de retour. Dans l’exemple, « 12,7 % par an » rappelle qu’une crue de 1 400 m3/s peut survenir dès l’année suivante, malgré une période moyenne de 7,9 ans.
À ne pas confondre
Loi de Gumbel et famille des lois des valeurs extrêmes. La loi de Gumbel appartient à cette famille, mais elle n’en est pas le nom générique. Une fonction de répartition égale à avec β > 0 identifie ici la forme de Gumbel pour les maxima.
Maximum observé et seuil dépassé. Le maximum annuel est la donnée modélisée ; 1 400 m3/s est un seuil auquel on compare cette donnée. Dans l’exemple, F(1 400) ≈ 0,8734 décrit un non-dépassement, tandis que 1 − F(1 400) ≈ 0,1266 décrit le dépassement.
Limites et pièges
Échelle nulle ou négative. Le paramètre β doit vérifier β > 0. À β = 0, le quotient de la formule n’est pas défini ; avec β < 0, on ne respecte plus la convention du paramètre d’échelle. Il faut corriger l’ajustement au lieu de poursuivre le calcul.
Minima traités comme des maxima. Le symptôme est une queue orientée du mauvais côté. Pour des minima, on adapte la convention ou l’on modélise l’opposé des observations, puis on restitue leur signe initial.
Période de retour prise pour un calendrier. Une période moyenne de 7,9 ans n’annonce pas un événement tous les huit ans. Le dépassement conserve ici une probabilité d’environ 12,7 % pour chaque année comparable. Il faut présenter ensemble la probabilité annuelle et la période moyenne.
Extrapolation très lointaine. La formule produit une valeur au-delà des maxima observés, mais ce résultat dépend entièrement de l’adéquation du modèle et des paramètres estimés. Une estimation instable quand on change la période de données signale qu’il faut revoir l’ajustement avant de dimensionner un ouvrage.
Pour aller plus loin
fonction de répartition — Lire précisément F(x) comme une probabilité de non-dépassement et retrouver la probabilité complémentaire.
espérance mathématique — En notant γ ≈ 0,577 la constante d’Euler, relier l’espérance μ + γβ au paramètre de position.
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