fonction de défaillance

Imaginez 100 composants identiques mis en service au même moment. Au fil des heures, certains tombent en panne. La fonction de défaillance associe à chaque instant la proportion que le modèle prévoit déjà défaillante. Une valeur de 0,20 à 600 heures signifie ainsi une probabilité de 20 % qu'un composant ait cessé de fonctionner au plus tard à cette échéance. La courbe ne redescend pas : une panne déjà survenue reste comptée.

La durée de vie d'un système est représentée par une variable aléatoire notée T. Pour un instant noté t, la fonction de défaillance F donne la probabilité que cette durée soit inférieure ou égale à l'instant considéré : $F(t)=P(T\le t)F(t)=P(T\backslash le\; t)$. Sa valeur est comprise entre 0 et 1 et elle évolue sans décroître avec le temps. La fonction de fiabilité R exprime l'événement complémentaire, le fonctionnement au-delà de l'instant choisi : $F(t)=1-R(t)F(t)=1-R(t)$.

Dans le modèle de Weibull à trois paramètres, le paramètre de forme est noté β, le seuil minimal de défaillance γ et l'échelle de temps η. Pour t supérieur à γ, la fonction vaut : Avant le seuil ou à celui-ci, le modèle donne F(t) = 0. Le paramètre β doit être positif, comme l'échelle η. Lorsque β est supérieur à 1, le taux de défaillance croît ; pour β = 1, il est constant et le modèle devient exponentiel après le seuil ; pour β inférieur à 1, il décroît.

La construction réunit cinq éléments. La durée de vie T est la grandeur aléatoire observée. L'instant t fixe l'échéance à laquelle on pose la question. La valeur F(t) est la probabilité cumulée de défaillance à cette échéance. Dans le modèle de Weibull, γ décale le départ possible des pannes, η fixe l'échelle de temps et β règle la forme de l'évolution.

Le temps écoulé depuis le seuil, t − γ, est comparé à η ; β agit ensuite sur ce rapport sans unité. Ces dépendances suffisent à calculer F(t) pour une échéance donnée et, par complément, R(t). La couleur ou le tracé d'une courbe ne définissent pas la fonction : ce sont les valeurs des paramètres, le domaine temporel et la formule qui la déterminent.

On modélise la durée de vie d'un composant en heures. Les données retenues sont un paramètre de forme β = 2, un seuil γ = 100 h, une échelle η = 1 000 h et une échéance t = 1 100 h. On cherche la probabilité que le composant soit défaillant au plus tard à cette échéance.

1. Le temps depuis le seuil vaut 1 100 − 100 = 1 000 h.
2. Le rapport à l'échelle vaut 1 000 / 1 000 = 1.
3. L'exposant vaut 1² = 1.
4. La formule donne $F(1100)=1-\exp (-1)F(1100)=1-\backslash exp(-1)$.
5. Comme exp(−1) ≈ 0,3679, on obtient F(1 100) ≈ 0,6321, soit environ 63,2 %. Le complément vérifie le calcul : R(1 100) ≈ 0,3679 et 0,6321 + 0,3679 = 1. La courbe associée rend visible ce cumul entre le seuil et 2 100 heures.

Pour estimer combien de composants risquent d'être déjà en panne avant une date de maintenance, on lit F à l'échéance prévue. Si la question porte au contraire sur ceux qui fonctionneront encore après cette date, la fonction de fiabilité R est la lecture directe.

Pour comparer deux échéances t₁ ≤ t₂, on calcule la probabilité cumulée à chacune. La différence F(t₂) − F(t₁) décrit la probabilité de défaillance dans l'intervalle ; une probabilité instantanée demanderait un autre outil.

Dans un modèle de Weibull, la valeur de β oriente la lecture du vieillissement. Une valeur supérieure à 1 signale un taux croissant, tandis qu'une valeur inférieure à 1 signale un taux décroissant ; β = 1 marque le cas constant.

Fonction de fiabilité. Elle mesure la probabilité complémentaire de fonctionner au-delà de t. À 1 100 h dans l'exemple, F vaut environ 0,6321 alors que R vaut environ 0,3679 ; leur somme vaut 1.

Taux de défaillance. La fonction F cumule les pannes jusqu'à une échéance, tandis que le taux décrit la propension à tomber en panne autour de cet instant parmi les systèmes encore en fonctionnement. Le critère β indique si ce taux augmente, reste constant ou diminue.

Échéance au seuil. La formule exponentielle donnée vaut pour t supérieur à γ. Pour t ≤ γ, la fonction vaut 0 : prolonger mécaniquement l'expression avant le seuil donnerait une lecture étrangère au modèle à trois paramètres.

Valeur cumulée, pas nombre de pannes. Une valeur F(t) = 0,20 est une probabilité de 20 %, pas l'annonce de 20 pannes sans préciser la taille d'un ensemble de composants.

Cas charnière β = 1. À cette valeur exacte, le taux est constant et le modèle est exponentiel après γ. Les régimes de mortalité infantile et de vieillissement correspondent respectivement à β inférieur et supérieur à 1 ; ils ne s'appliquent pas au cas charnière.

Arrondis. Dans l'exemple, 0,6321 est une approximation de 1 − exp(−1), non une égalité exacte. Le contrôle par le complément doit utiliser des valeurs arrondies au même nombre de décimales.

La fonction de répartition replace F(t) dans le cadre général des variables aléatoires et des probabilités cumulées.

La loi exponentielle approfondit le cas β = 1, dans lequel le taux de défaillance reste constant après le seuil.